在抽象代数的群论中,内自同构是群的自同构的一种。设g为群G的一个元素,则g对应的内自同构,是以g的共轭作用定义如下
![{\displaystyle \iota _{g}\colon G\to G,x\mapsto gxg^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146c77dfeb32dc36c31dff80d214f57a529059e3)
群G的一个自同构,如果是G的元素的共轭作用,便称为内自同构。
性质
若g在G的中心Z(G)内,则
是平凡的。因此阿贝尔群的内自同构都是平凡的。一般而言,
的不动点集,正是g的中心化子CG(g)。
内自同构
的逆元是
。两个内自同构
的复合是
由群的中心的基本性质可知,若Inn(G)是循环群,则Inn(G)是平凡群。
若Inn(G)=Aut(G)且G无中心,则G称为完备群。
若G是完满群且Inn(G)是单群,则G称为拟单群。
内自同构群
群G的内自同构组成内自同构群Inn(G)。内自同构群Inn(G)与群G对其中心Z(G)的商群G/Z(G)同构。
内自同构群Inn(G)是G的自同构群Aut(G)中的正规子群,其对应商群记为Out(G)=Aut(G)/Inn(G),称为外自同构群。
上述关系可以用以下两个短正合列表示:
![{\displaystyle 1\to \mathrm {Z} (G)\to G\to \mathrm {Inn} (G)\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae242b1d7bfdb6747996c8ee7bcc4ec8985573a3)
![{\displaystyle 1\to \mathrm {Inn} (G)\to \mathrm {Aut} (G)\to \mathrm {Out} (G)\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c4919130dd9bc44c56f51355e86cad7bd852ef)
正规子群
群G的子群H是G的正规子群,当H在G的任一内自同构的作用下不变。这时G的内自同构限制到H上是H的自同构(未必是H的内自同构),因而有群同态
。这个群同态的核是H在G中的中心化子CG(H)。
对一般的子群H,可取其在G中的正规化子NG(H),则H是NG(H)的正规子群,故有群同态
,其核是CG(H)。因此NG(H)/CG(H)可以嵌入到Aut(H)内,即
![{\displaystyle \mathrm {N} _{G}(H)/\mathrm {C} _{G}(H)\to \mathrm {Aut} (H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf20e55dea9f1a331a61221e29f3262497a3cfb)
是单射。
参考