內自同構

在抽象代數的群論中，內自同構（英語：Inner automorphism）是群的一種自同構。群內部的元素的共軛作用可以定義一個自同構，因而得名「內」自同構。

定義

設 $g$ 為群 $G$ 的一個元素，則 $g$ 對應的內自同構可以由如下的方程給出

\iota _{g}:G\to G

x\mapsto gxg^{-1}

該方程是 $G$ 的一個自同態，因為對任意 $x_{1},x_{2}\in G$ ，有

\iota _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}gg^{-1}x_{2}g=(g^{-1}x_{1}g)(g^{-1}x_{2}g)=\iota _{g}(x_{1})\iota _{g}(x_{2})

所有由 $G$ 的元素的共軛作用給出的自同構稱為內自同構。

性質

若g在G的中心Z(G)內，則 $\iota _{g}$ 是平凡的。因此阿貝爾群的內自同構都是平凡的。一般而言， $\iota _{g}$ 的不動點集，正是g的中心化子C_G(g)。

內自同構 $\iota _{g}$ 的逆元是 $\iota _{g}^{-1}=\iota _{g^{-1}}$ 。兩個內自同構 $\iota _{g},\iota _{h}$ 的複合是 $\iota _{g}\circ \iota _{h}=\iota _{gh}$

由群的中心的基本性質可知，若Inn(G)是循環群，則Inn(G)是平凡群。

若Inn(G)=Aut(G)且G無中心，則G稱為完備群。

若G是完滿群且Inn(G)是單群，則G稱為擬單群。

內自同構群

群 $G$ 的內自同構組成內自同構群 ${\text{Inn}}(G)$ 。內自同構群 ${\text{Inn}}(G)$ 與群 $G$ 對其中心 $Z(G)$ 的商群 $G/Z(G)$ 同構。

內自同構群 ${\text{Inn}}(G)$ 是 $G$ 的自同構群 ${\text{Out}}(G)$ 中的正規子群，其對應商群記為 ${\text{Out}}(G)={\text{Aut}}(G)/{\text{Inn}}(G)$ ，稱為外自同構群。

上述關係可以用以下兩個短正合列表示：

1\to \mathrm {Z} (G)\to G\to \mathrm {Inn} (G)\to 1

1\to \mathrm {Inn} (G)\to \mathrm {Aut} (G)\to \mathrm {Out} (G)\to 1

正規子群

群 $G$ 的子群 $H$ 是 $G$ 的正規子群若 $H$ 在 $G$ 的任一內自同構的作用下不變。這時 $G$ 的內自同構限制到 $H$ 上時是 $H$ 的一個自同構（未必是 $H$ 的內自同構），因而有群同態 $G\to \mathrm {Aut} (H)$ 。這個群同態的核是 $H$ 在 $G$ 中的中心化子 $C_{G}(H)$ 。