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p-群

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数学中的群论中,给定一质数 -群(英语:p-group)是每个元素的都是 次方的一个群 ;换言之,对每个 中的 ,存在一个正整数 使得 次方等于单位元素 而对小于 的其他正整数 则有

有限,则上述定义等价于 的次方。有限 -群的结构已被深入研究,其中一个使用类方程的标准结论为一个非平凡有限 -群的中心不可能为一个平凡子群。一个 阶的 -群会包含着 阶的子群,其中 。更一般性地,每一个有限 -群都会是幂零群,因而都是可解群

有相同阶的p-群不一定会互相同构;例如,循环群C4克莱因四元群都是4阶的2-群,但两者并不同构。一个p-群不一定要是阿贝尔群;如8阶的二面体群即为一个非可换2-群。(但每个p2阶的群都会是可换的。)

以趋进的观点来看,几乎所有的有限群都会是p-群。实际上,几乎所有的有限群都是2-群:2-群的同构类与其阶至多为n之群的同构类的比例在当n趋进于无限大时会趋进于1。例如,其阶至多为2000的所有不同的群会有99%为1024阶的2-群。[1]

每一个非当然有限群都会包括一个为非当然p-群之子群。详述请见西洛定理

无限群的例子,见普吕弗群

性质

-群中,所有元素的阶都是有限的,因此-群是周期群

另见

参考

  1. ^ Besche, Hans Ulrich, Bettina Eick and Eamonn O'Brien. (2001) 小群图书馆页面存档备份,存于互联网档案馆