p-群
在數學中的群論中,給定一質數 ,-群(英語:p-group)是每個元素的階都是 的次方的一個群 ;換言之,對每個 中的 ,存在一個正整數 使得 的 次方等於單位元素, 而對小於 的其他正整數 則有 。
若 有限,則上述定義等價於 的階為 的次方。有限 -群的結構已被深入研究,其中一個使用類方程的標準結論為一個非平凡有限 -群的中心不可能為一個平凡子群。一個 階的 -群會包含着 階的子群,其中 。更一般性地,每一個有限 -群都會是冪零群,因而都是可解群。
有相同階的p-群不一定會互相同構;例如,循環群C4和克萊因四元群都是4階的2-群,但兩者並不同構。一個p-群不一定要是阿貝爾群;如8階的二面體群即為一個非可換2-群。(但每個p2階的群都會是可換的。)
以趨進的觀點來看,幾乎所有的有限群都會是p-群。實際上,幾乎所有的有限群都是2-群:2-群的同構類與其階至多為n之群的同構類的比例在當n趨進於無限大時會趨進於1。例如,其階至多為2000的所有不同的群會有99%為1024階的2-群。[1]
每一個非當然有限群都會包括一個為非當然p-群之子群。詳述請見西洛定理。
無限群的例子,見普呂弗群。
性質
-群中,所有元素的階都是有限的,因此-群是週期群