Horofunction

数学上，horofunction是定义在一个完备度量空间X上的函数，是X上的距离函数的极限。horofunction是米哈伊尔·格罗莫夫将Busemann function（英语：Busemann function）推广而引入的概念。

定义

设(X,d)为完备度量空间。取基点 $o\in X$ 。对任一点 $x\in X$ ，定义距离函数

d_{x}(y)=d(x,y)-d(y,o)

这个函数连续，因此在X的连续函数空间C(X)中。在空间C(X)中赋以sup范数，建立 $X\to C(X)$ 的映射

x\mapsto d_{x}

易知这个映射是等距嵌入，称为Kuratowski嵌入。

考虑商空间 $C'=C(X)/\{{\textrm {constantfunctions}}\}$ ，并以在X中的有界集上一致收敛作为拓扑。把C(X)投射到C'，得到从X到 $C'$ 中的嵌入。这个嵌入不依赖于基点o。

设X是可数紧致的。定义 ${\overline {X}}_{h}$ 为X在 $C'$ 中的闭包，则 ${\overline {X}}_{h}$ 称为X的horofunction紧致化（horofunction compactification）。又定义边界 $\partial _{h}X={\overline {X}}_{h}\setminus X$ ，则 $\partial _{h}X$ 称为X的horofunction边界（horofunction boundary）。一个连续函数 $h\in C(X)$ 称为horofunction ，如果h投射到 $C'$ 的像b是在 $\partial _{h}X$ 内。称h是以b为中心的horofunction。集合 $h^{-1}(-\infty ,c)\in X$ 称为开horoball，而 $h^{-1}(c)$ 则称为horosphere。