Horofunction

數學上，horofunction是定義在一個完備度量空間X上的函數，是X上的距離函數的極限。horofunction是米哈伊爾·格羅莫夫將Busemann function（英語：Busemann function）推廣而引入的概念。

定義

設(X,d)為完備度量空間。取基點 $o\in X$ 。對任一點 $x\in X$ ，定義距離函數

d_{x}(y)=d(x,y)-d(y,o)

這個函數連續，因此在X的連續函數空間C(X)中。在空間C(X)中賦以sup範數，建立 $X\to C(X)$ 的映射

x\mapsto d_{x}

易知這個映射是等距嵌入，稱為Kuratowski嵌入。

考慮商空間 $C'=C(X)/\{{\textrm {constantfunctions}}\}$ ，並以在X中的有界集上一致收斂作為拓撲。把C(X)投射到C'，得到從X到 $C'$ 中的嵌入。這個嵌入不依賴於基點o。

設X是可數緊緻的。定義 ${\overline {X}}_{h}$ 為X在 $C'$ 中的閉包，則 ${\overline {X}}_{h}$ 稱為X的horofunction緊緻化（horofunction compactification）。又定義邊界 $\partial _{h}X={\overline {X}}_{h}\setminus X$ ，則 $\partial _{h}X$ 稱為X的horofunction邊界（horofunction boundary）。一個連續函數 $h\in C(X)$ 稱為horofunction ，如果h投射到 $C'$ 的像b是在 $\partial _{h}X$ 內。稱h是以b為中心的horofunction。集合 $h^{-1}(-\infty ,c)\in X$ 稱為開horoball，而 $h^{-1}(c)$ 則稱為horosphere。