双射记数

双射记数系统（Bijective numeration）是一种表示数字的位置数值系统，每个非负整数都可使用有限数字串表示。该名称“双射”指的是非负整数集和用有限符号集的有限字符串集间存在双射（即一一对应）。

大多数数字系统，例如十进制，都不是双射的；因为不止一串数字可以表示同一个正整数：添加前导零（英语：leading zero）不会改变表示的值，例如“1”、“01”、“001”都表示数字“1”。而一进制因为只有一个数字“1”所以必然“是”双射的。

双射进制-k记数系统是一个双射进位制。使用集合{1, 2, ..., k}（其中k≥1）编码正整数；值的位置定义为“k”的幂倍数。Smullyan (1961)称此为k-adic：用有限非零数字串表示普通整数的系统，而p-adic数是包含整数作为子集的一个数学值系统，并且可能需要无限数字序列表示。

定义

双射进位制使用集合{1, 2, ..., k}（其中k≥ 1）来唯一编码每个非负整数：

零由空字符串表示。
由非空数字串表示的整数

a n a n -1 ... a 1 a 0

=

a n k n + a n -1 k n -1 + ... + a 1 k 1 + a 0 k 0

.

表示整数的数字串m>0是 $a n a n -1 ... a 1 a 0$

当

{\begin{aligned}a_{0}&=m-q_{0}k,&q_{0}&=f\left({\frac {m}{k}}\right)&\\a_{1}&=q_{0}-q_{1}k,&q_{1}&=f\left({\frac {q_{0}}{k}}\right)&\\a_{2}&=q_{1}-q_{2}k,&q_{2}&=f\left({\frac {q_{1}}{k}}\right)&\\&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\a_{n}&=q_{n-1}-0k,&q_{n}&=f\left({\frac {q_{n-1}}{k}}\right)=0\end{aligned}}

且

f(x)=\lceil x\rceil -1,

\lceil x\rceil

是不小于的最小整数x（上取整函数）

相反，标准进位制可用类似递归算法定义当

f(x)=\lfloor x\rfloor ,

扩展到整数

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在 $k>1$ 进制, the bijective base- $k$ numeration system could be extended to negative integers in the same way as the standard base- $b$ numeral system by use of an infinite number of the digit $d_{k-1}$ , where $f(d_{k-1})=k-1$ , represented as a left-infinite sequence of digits $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ . This is because the Euler summation

g({\overline {d_{k-1}}})=\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=-{\frac {k-1}{k-1}}=-1

meaning that

g({\overline {d_{k-1}}}d_{k})=f(d_{k})\sum _{i=1}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=1+\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=0

and for every positive number $n$ with bijective numeration digit representation $d$ is represented by ${\overline {d_{k-1}}}d_{k}d$ . For base $k>2$ , negative numbers $n<-1$ are represented by ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ with $i<k-1$ , while for base $k=2$ , negative numbers $n<-1$ are represented by ${\overline {d_{k}}}d$ . This is similar to how in signed-digit representations, all integers $n$ with digit representations $d$ are represented as ${\overline {d_{0}}}d$ where $f(d_{0})=0$ . This representation is no longer bijective, as the entire set of left-infinite sequences of digits is used to represent the $k$ -adic integers, of which the integers are only a subset.

性质

对于 $k\geq 2$ 进制：

表示非负整数n的双射k进位位数是 $\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$ ^[1]，与 $\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$ 相比，k进制如果是“1”，位数就是n。
最小可表示为长度 $l\geq 0$ 的双射k进制数字的非负整数是 $min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}$ 。
最大可表示为长度 $l\geq 0$ 的双射k进制数字的非负整数是 $max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}$ ，相当于 $max(l)=k\times min(l)$ 或 $max(l)=min(l+1)-1$ 。
非负整数n的双射k进制可和普通进制k相同，当且仅当普通进制不含数字“0”，或者等效地，双射进制既不是空字符串也不包含数字k。

对于进制 $k\geq 1$ ，

会有 $k^{l}$ 个双射进制，长度为 $l\geq 0$ 的k。^[2]
双射进制k的列表.。用λ表示空串，1、2、3、8、10、12、16为底的数如下（这里列出普通的表示方式以供比较）：

双射一进制	`λ`	`1`	`11`	`111`	`1111`	`11111`	`111111`	`1111111`	`11111111`	`111111111`	`1111111111`	`11111111111`	`111111111111`	`1111111111111`	`11111111111111`	`111111111111111`	`1111111111111111`	`...`
双射二进制	`λ`	`1`	`2`	`11`	`12`	`21`	`22`	`111`	`112`	`121`	`122`	`211`	`212`	`221`	`222`	`1111`	`1112`	`...`
二进制	`0`	`1`	`10`	`11`	`100`	`101`	`110`	`111`	`1000`	`1001`	`1010`	`1011`	`1100`	`1101`	`1110`	`1111`	`10000`	`...`
双射三进制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`11`	`12`	`13`	`21`	`22`	`23`	`31`	`32`	`33`	`111`	`112`	`113`	`121`	`...`
三进制	`0`	`1`	`2`	`10`	`11`	`12`	`20`	`21`	`22`	`100`	`101`	`102`	`110`	`111`	`112`	`120`	`121`	`...`
双射八进制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`17`	`18`	`...`
八进制	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`17`	`20`	`...`
双射十进制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`...`
十进制	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`	`16`	`...`
双射十二进制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`11`	`12`	`13`	`14`	`...`
十二进制	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`...`
双射十六进制	`λ`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`	`G`	`...`
十六进制	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`	`10`	`...`

例

双射五进制的34152 = 3×5⁴ + 4×5³ + 1×5² + 5×5¹ + 2×1 = 2427（十进制）
双射十进制119A（A代表数值10） = 1×10³ + 1×10² + 9×10¹ + 10×1 = 1200（十进制）
- 双射11进制B = 11（十进制）
- 双射35进制Z = 35（十进制）

双射十进制

双射十进制系统是一种以 10 为底的位置数字系统，不使用数字来表示零，而用一个数字代表十，例如 A。

与传统的十进制一样，每个数字位置代表十的幂，因此例如 123 是“一百，加上两个十，加上三个一”。所有在传统十进制中仅用非零数字表示的正整数（例如 123）在不带零的十进制中具有相同的表示形式。使用零的必须重写，例如10变为A，常规20变为1A，常规100变为9A，常规101变为A1，常规302变为2A2，常规1000变为99A，常规1110变为AAA，常规2010变为19AA ，等等。

不带零的十进制的加法和乘法本质上与传统十进制相同，只是当位置超过十时而不是超过九时发生进位。因此，要计算 643 + 759，有十二个个位（在右边写 2，十位进位 1）、十个十（记为 A，不需要进位到百位）、十三个百（在右边写 3，进位 1）、和一个千（写 1），得到结果 13A2 而不是传统的 1402。

双射二十六进制

在双射二十六进制系统中，可以使用拉丁字母A到Z来表示1到26。（A=1，B=2，C=3，...，Z=26）

通过选择这种表示法，数字序列（从 1 开始）开始为 A、B、C、...、X、Y、Z、AA、AB、AC、...、AX、AY、AZ、BA、BB、BC，...

每个数字位置代表二十六的幂，例如数字 ABC 代表十进制的 1 × 26² + 2 × 26¹ + 3 × 26⁰ = 731。

许多电子表格（包括 Microsoft Excel）使用此系统为电子表格的列分配标签，如 A、B、C、...、Z、AA、AB、...、AZ、BA、...、ZZ、AAA 。在 Excel 2013 中，最多可以有 16384（2¹⁴）列，从 A 到 XFD。^[3] 该系统的一个变体用于命名变星。^[4] 它可以应用于任何需要使用字母进行系统命名的问题，同时使字符串尽可能短。

历史

每个非负整数在双射 k (k ≥ 1) 进制中都有唯一的表示，这一事实是一个已被多次重新发现的“民间定理”。早期的例子是 Foster (1947) （对于 k = 10），以及 Smullyan (1961) 和 Böhm (1964) （对于所有 k ≥ 1）。Smullyan 使用该系统提供逻辑系统中符号串的哥德尔编号； Böhm 使用这些表示以编程语言 P′′ 执行计算。Knuth (1969) 提到了 k = 10 的特殊情况，Salomaa (1973) 讨论了 k ≥ 2 的情况。Forslund (1995) 似乎是另一个重新发现，并提出假设说如果古代计数系统使用双射 k 进制，可能由于人们普遍不熟悉这一系统，导致考古文献中并未发现这一点。

注释

^ How many digits are in the bijective base-k numeral for n?. Stackexchange. [22 September 2018].
^ Forslund (1995).
^ Harvey, Greg, Excel 2013 For Dummies, John Wiley & Sons, 2013, ISBN 9781118550007 .
^ Hellier, Coel, Appendix D: Variable star nomenclature, Cataclysmic Variable Stars - How and Why They Vary, Praxis Books in Astronomy and Space, Springer: 197, 2001, ISBN 9781852332112 .

参考

Böhm, C., On a family of Turing machines and the related programming language, ICC Bulletin, July 1964, 3: 191 .
Forslund, Robert R., A logical alternative to the existing positional number system, Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 1995, 1: 27–29, MR 1386376, S2CID 19010664 .
Foster, J. E., A number system without a zero symbol, Mathematics Magazine, 1947, 21 (1): 39–41, JSTOR 3029479, doi:10.2307/3029479 .
Knuth, D. E., The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms 1st, Addison-Wesley, Solution to Exercise 4.1-24, p. 195, 1969 . (Discusses bijective base-10.)
Salomaa, A., Formal Languages, Academic Press, Note 9.1, pp. 90–91, 1973 . (Discusses bijective base-k for all k ≥ 2.)
Smullyan, R., 9. Lexicographical ordering; n-adic representation of integers, Theory of Formal Systems, Annals of Mathematics Studies 47, Princeton University Press: 34–36, 1961 .

[1] How many digits are in the bijective base-k numeral for n?. Stackexchange. [22 September 2018].

[FOOTNOTEForslund1995-2] Forslund (1995).

[3] Harvey, Greg, Excel 2013 For Dummies, John Wiley & Sons, 2013, ISBN 9781118550007 .

[4] Hellier, Coel, Appendix D: Variable star nomenclature, Cataclysmic Variable Stars - How and Why They Vary, Praxis Books in Astronomy and Space, Springer: 197, 2001, ISBN 9781852332112 .

[1]

[2]

[3]

[4]

查论编进制的记数系统
基本进位制	一进制二进制三进制四进制五进制六进制七进制八进制九进制十进制十一进制十二进制十三进制十四进制十五进制十六进制十七进制十八进制十九进制二十进制二十六进制三十六进制六十进制六十四进制一百进制
平衡进位制	平衡三进制
广义的进制系统	Base64 十进位制二进指数法非整数进位制根号2进制黄金进制 e进制负底数进制（英语：Negative base）复底数进制 2i进制 -1±i进制混合底数（英语：Mixed radix）阶乘进制斐波那契编码双射记数系统
相关条目	底数数位比特字节进位制米迪定理记数系统