进位制

进位制（carry system）又称进制、進位系統，是一种记数制度、系統或方法；利用这种“记数法”，可以使用有限种的“數字符号”来表示所有的数值。進位（carry）則是傳送進位數之動作或過程。

進位制，「進」表示在一個位值的數字達到基數後，將其重置為零並使高一位（位值）的數字加一。「位」代表位值（place value）。

进位制的其他名稱：位置记法（positional notation）、數字命位法、定位記法、进位记数法、位值记数法（place-value notation）、位置数值系统（positional numeral system）。

一种进位制中可以使用的數字符号的数目，称为这种进位制的基数或底数。若一个进位制的基数为 $n$，即可称之为 $n$进位制，简称 $n$进制。现在最常用的进位制是十进制，这种进位制通常使用10个阿拉伯數字（即 0-9 ）进行记数。

我们可以用不同的进位制来表示同一个数。比如：十进数57₍₁₀₎，可以用二进制表示为111001₍₂₎，也可以用五进制表示为212₍₅₎，同时也可以用八进制表示为71₍₈₎，可用十二进制表示為49₍₁₂₎，亦可用十六进制表示为39₍₁₆₎，它们所代表的数值都是一样的。

在10进制中有10个數字（0 - 9），比如：

$2506=2\times 10^{3}+5\times 10^{2}+0\times 10^{1}+6\times 10^{0}$.

在16进制中有16个數字（0–9 和 A–F），比如：

$171B=1\times 16^{3}+7\times 16^{2}+1\times 16^{1}+B\times 16^{0}$ (16進制中A代表10,B代表11,C代表12,D代表13,E代表14,F代表15）

一般说来，$b$进制有$b$个數字，如果$a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}$是其中四个數字，那么就有

$a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}=a_{3}\times b^{3}+a_{2}\times b^{2}+a_{1}\times b^{1}+a_{0}\times b^{0}$ (注意，$a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$ 表示一个數字序列, 而不是數字的相乘)

常見進位制及其用途

底/基數	名稱	描述
10	十进制	世界上最常見的算術運算位進制系統，它是2和5的乘積，用於大多數機械計數器。其十位數字為 “0-9”。
12	十二进制	因為有多個因數如2，3，4和6的易於整除性，它傳統上用以表示數量和總數，如一打即為十二個單位。十二位數字為“0-9”，接著是“A”和“B”。
20	二十进制	因為有多個因數如2，4，5和10的易於整除性，在幾種傳統文化中的數字系統，仍然被用於計數。二十位數字為“0-9”，接著是“A-J”。
26	二十六进制、双射二十六进制	这是一种使用26个拉丁字母来表示数的方法，Excel表格的列编号使用双射二十六进制。在普通二十六进制中，二十六位数字为“O-Z”，把O提前代表0，按照O、A、B……的顺序排列（O表示0、A表示1、B表示2……Z表示25、AO代表26、AA代表27……）；而在双射二十六进制中，二十六位数字为“A-Z”，A代表1、B代表2……Z代表26、AA代表27、AB代表28……，没办法表示0。所有英语单词（不区分大小写）都可以按照双射二十六进制转十进制的方法转换为自然数。
14	十四进制	用于撲克牌中，并可能用于某些小說中外星人的進制系統。十四位數字為“0-9”，接著是“A-D”。
2	二进制	幾乎所有的电子計算機內部都使用二進位制，分別為“0”和“1”表示“關”和“開”。用於大多數電子計數器。
3	三进制	某些計算機中可能采用三進制而不是二進制（如Сетунь）。理論上這比二進制更高效。三位數字分别爲0、1、2，或者爲T、0、1（平衡三進制）。
16	十六进制	經常用於計算機領域，2到4次冪。十六位數字為“0-9”，接著是“A-F”。
8	八进制	偶爾用於計算機領域，2到3次冪。并可能用于某些小說中外星人的進制系統。八位數字為“0-7”。
60	六十進制	起源於古代蘇美爾並傳給巴比倫人。六十成為3,4和5的乘積。今天用作現代圓形坐標系（度，分，秒）和時間測量（小時，分鐘和秒）的基礎。

八进位制和十六进位制系统通常用于计算机領域，因为它们可方便當作二进位制的简写。十六进位制数字对应于四位二进位制数字的序列，因为十六是二的四次方; 例如，十六进位制 78₁₆ 是二进制 1111000₂。八进位制数和二进位制的数字序列之间也有类似关系，因为八是二的立方。底數通常是自然数。 然而，其它位進制系统也是可能的。黄金比率底數（其底为非整数代 数）和负底數（其底为负数）。

参考文獻

• O'Connor, John; Robertson, Edmund. Babylonian Numerals. December 2000 [21 August 2010]. （原始内容存档于2014-09-11）. 
• Kadvany, John. Positional Value and Linguistic Recursion. Journal of Indian Philosophy. December 2007. 
• Knuth, Donald. The art of Computer Programming 2. Addison-Wesley. 1997: 195–213. ISBN 0-201-89684-2. 
• Ifrah, George. The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. 2000. ISBN 0-471-37568-3. 
• Kroeber, Alfred. Handbook of the Indians of California. Courier Dover Publications. 1976: 176 [1925] [2014-07-17]. ISBN 9780486233680. （原始内容存档于2016-05-05）. 

外部連結

• 进位转换器（网页版） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Accurate Base Conversion
• The Development of Hindu Arabic and Traditional Chinese Arithmetics
• Implementation of Base Conversion （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• Learn to count other bases on your fingers （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• From one to another number system （页面存档备份，存于互联网档案馆）