除以0时计算器的错误 在数学 中，被除数 的除数 （分母 ）是零 或将某数除以零 ，可表达为
a
0
{\displaystyle {\frac {a}{0}}}
a
{\displaystyle a}
数目 ，以零相乘（假设
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
没有定义 的值。此式是否成立端视其在如何的数学 设定下计算 。一般实数 算术中，此式为无意义 。在程序设计 中，当遇上正整数 除以零程序会中止，正如浮点数 会出现无限大或NaN 值的情况，而在Microsoft Excel 及Openoffice 或Libreoffice 的Calc 中，除以零会直接显示#DIV/0!
。
基本算术中，除法 指将一个集合 中的对象分成若干等份。例如，
10
{\displaystyle 10}
5
{\displaystyle 5}
10
5
=
2
{\displaystyle {\frac {10}{5}}=2}
10
{\displaystyle 10}
1
{\displaystyle 1}
10
1
=
10
{\displaystyle {\frac {10}{1}}=10}
若除以
0
{\displaystyle 0}
10
{\displaystyle 10}
0
{\displaystyle 0}
10
0
{\displaystyle {\frac {10}{0}}}
另种解释是将除法理解为不断的减法 。例如“
13
{\displaystyle 13}
5
{\displaystyle 5}
13
{\displaystyle 13}
5
{\displaystyle 5}
3
{\displaystyle 3}
余数 数值低于除数，算式为
13
5
=
2
{\displaystyle {\frac {13}{5}}=2}
3
{\displaystyle 3}
无穷 拉上关系，超出基本算术的范畴。此解释也有一问题，即为无穷大 乘 以零仍是零。
婆罗摩笈多 （598–668年）的著作《婆罗摩历算书
“
一个正或负整数除以零，成为以零为分母的分数。零除以正或负整数是零或以零为分子、该正或负整数为分母的分数。零除以零是零。
”
830年，另一位数学家摩诃吠罗 Ganita Sara Samgraha 》试图纠正婆罗摩笈多的错误，但不成功：
婆什迦罗第二 尝试解决此问题，答案是让
n
0
=
∞
{\displaystyle {\frac {n}{0}}=\infty }
0
×
∞
{\displaystyle 0\times \infty }
[ 1]
在微积分 和数学分析 中，像
0
×
∞
{\displaystyle 0\times \infty }
0
0
{\displaystyle {\frac {0}{0}}}
极限 称为不定型 。不定型是可以计算的，结果可能是任意数。
安卓 手机计算器除以0显示无限大
若某数学系统遵从域 的公理，则在该数学系统内除以零必须为没有意义。这是因为除法被定义为是乘法 的逆向操作，即
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
b
x
=
a
{\displaystyle bx=a}
x
{\displaystyle x}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
b
x
=
a
{\displaystyle bx=a}
0
×
x
=
a
{\displaystyle 0\times x=a}
0
=
a
{\displaystyle 0=a}
b
x
=
a
{\displaystyle bx=a}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
x
{\displaystyle x}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明 ：
2
=
1
{\displaystyle 2=1}
式：
0
a
=
0
{\displaystyle 0a=0}
试：
a
=
1
{\displaystyle a=1}
a
=
2
{\displaystyle a=2}
得出：
0
×
1
=
0
×
2
{\displaystyle 0\times 1=0\times 2}
除以零得出
0
0
×
1
=
2
{\displaystyle {\frac {0}{0}}\times 1=2}
简化，得出：
1
=
2
{\displaystyle 1=2\,}
以上谬论 假设，某数除以0是容许的，并且
0
0
=
1
{\displaystyle {\frac {0}{0}}=1}
另一个简洁的证明
设
a
=
b
{\displaystyle a=b}
a
2
=
a
b
{\displaystyle a^{2}=ab}
b
2
{\displaystyle b^{2}}
平方差公式 得
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
b
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)}
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a-b)}
a
+
b
=
b
{\displaystyle a+b=b}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
通过上面的过程，证明了一切数字等于
0
{\displaystyle 0}
因为
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a-b)}
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a-b)}
在矩阵 代数或线性代数 中，可定义一种虚假的除法，设
a
b
=
a
b
+
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{+}}
b
+
{\displaystyle b^{+}}
b
{\displaystyle b}
b
−
{\displaystyle b^{-}}
b
+
=
b
−
{\displaystyle b^{+}=b^{-}}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
0
+
=
0
{\displaystyle 0^{+}=0}
广义逆 。
函数
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
表面看来，可以藉着考虑随着
b
{\displaystyle b}
0
{\displaystyle 0}
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
对于任何正数
a
{\displaystyle a}
lim
b
→
0
+
a
b
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty }
另一方面，左极限是
lim
b
→
0
−
a
b
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty }
由于左极限及右极限不相同，因此函数在
x
=
0
{\displaystyle x=0}
a
{\displaystyle a}
如果分子及分母均为零或趋向零，则可使用洛必达法则 计算。
不定型 （Indeterminate Form）的极限可透过四则运算 或洛必达法则 计算。
考虑函数
f
(
x
)
=
x
2
−
9
x
−
3
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}}
如果直接代入
x
=
3
{\displaystyle x=3}
f
(
3
)
=
3
2
−
9
3
−
3
=
0
0
{\displaystyle f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}}
但透过约简分子及分母，该点的极限是可以计算的。
lim
x
→
3
x
2
−
9
x
−
3
=
lim
x
→
3
(
x
+
3
)
(
x
−
3
)
x
−
3
=
lim
x
→
3
x
+
3
=
6
{\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim _{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=6}
此外，函数的极限可透过洛必达法则 计算。
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
若随着
x
{\displaystyle x}
0
{\displaystyle 0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
0
{\displaystyle 0}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
运用形式推算
lim
x
→
0
1
x
=
lim
x
→
0
1
lim
x
→
0
x
=
∞
.
{\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .}
集合
C
∪
{
∞
}
{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}
黎曼球 （Riemann sphere ），在复分析 中相当重要。
在计算机中，除以零的结果根据编程语言、软硬件环境、数据类型、数值而不同。部分语言中，无论是整数还是浮点数，除以0均会产生异常，而在另一部分语言中，整数除以零会产生异常或未定义行为 ，而浮点数除以零的结果如下：
零与NaN除以零：NaN （注：NaN不等于NaN）
零与NaN以外的数除以符号相同的0（如1除以0）：正无穷大
零与NaN以外的数除以符号不同的0（如1除以-0 、-1除以0）：负无穷大
Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea , Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.). Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences , Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).
Jakub Czajko (July 2004) "", Chaos, Solitons and Fractals , volume 21, number 2, pages 261–271.
