除以0時計算器的錯誤 在數學 中，被除數 的除數 （分母 ）是零 或將某數除以零 ，可表達為
a
0
{\displaystyle {\frac {a}{0}}}
a
{\displaystyle a}
數目 ，以零相乘（假設
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
沒有定義 的值。此式是否成立端視其在如何的數學 設定下計算 。一般實數 算術中，此式為無意義 。在程序設計 中，當遇上正整數 除以零程序會中止，正如浮點數 會出現無限大或NaN 值的情況，而在Microsoft Excel 及Openoffice 或Libreoffice 的Calc 中，除以零會直接顯示#DIV/0!
。
基本算術中，除法 指將一個集合 中的物件分成若干等份。例如，
10
{\displaystyle 10}
5
{\displaystyle 5}
10
5
=
2
{\displaystyle {\frac {10}{5}}=2}
10
{\displaystyle 10}
1
{\displaystyle 1}
10
1
=
10
{\displaystyle {\frac {10}{1}}=10}
若除以
0
{\displaystyle 0}
10
{\displaystyle 10}
0
{\displaystyle 0}
10
0
{\displaystyle {\frac {10}{0}}}
另種解釋是將除法理解為不斷的減法 。例如「
13
{\displaystyle 13}
5
{\displaystyle 5}
13
{\displaystyle 13}
5
{\displaystyle 5}
3
{\displaystyle 3}
餘數 數值低於除數，算式為
13
5
=
2
{\displaystyle {\frac {13}{5}}=2}
3
{\displaystyle 3}
無窮 拉上關係，超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題，即為無窮大 乘 以零仍是零。
婆羅摩笈多 （598–668年）的著作《婆羅摩曆算書
“
一個正或負整數除以零，成為以零為分母的分數。零除以正或負整數是零或以零為分子、該正或負整數為分母的分數。零除以零是零。
”
830年，另一位數學家摩訶吠羅 Ganita Sara Samgraha 》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：
婆什迦羅第二 嘗試解決此問題，答案是讓
n
0
=
∞
{\displaystyle {\frac {n}{0}}=\infty }
0
×
∞
{\displaystyle 0\times \infty }
[ 1]
在微積分 和數學分析 中，像
0
×
∞
{\displaystyle 0\times \infty }
0
0
{\displaystyle {\frac {0}{0}}}
極限 稱為不定型 。不定型是可以計算的，結果可能是任意數。
安卓 手機計算器除以0顯示無限大
若某數學系統遵從域 的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法 的逆向操作，即
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
b
x
=
a
{\displaystyle bx=a}
x
{\displaystyle x}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
b
x
=
a
{\displaystyle bx=a}
0
×
x
=
a
{\displaystyle 0\times x=a}
0
=
a
{\displaystyle 0=a}
b
x
=
a
{\displaystyle bx=a}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
x
{\displaystyle x}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明 ：
2
=
1
{\displaystyle 2=1}
式：
0
a
=
0
{\displaystyle 0a=0}
試：
a
=
1
{\displaystyle a=1}
a
=
2
{\displaystyle a=2}
得出：
0
×
1
=
0
×
2
{\displaystyle 0\times 1=0\times 2}
除以零得出
0
0
×
1
=
2
{\displaystyle {\frac {0}{0}}\times 1=2}
簡化，得出：
1
=
2
{\displaystyle 1=2\,}
以上謬論 假設，某數除以0是容許的，並且
0
0
=
1
{\displaystyle {\frac {0}{0}}=1}
另一個簡潔的證明
設
a
=
b
{\displaystyle a=b}
a
2
=
a
b
{\displaystyle a^{2}=ab}
b
2
{\displaystyle b^{2}}
平方差公式 得
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
b
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)}
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a-b)}
a
+
b
=
b
{\displaystyle a+b=b}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
通過上面的過程，證明了一切數字等於
0
{\displaystyle 0}
因為
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a-b)}
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a-b)}
在矩陣 代數或線性代數 中，可定義一種虛假的除法，設
a
b
=
a
b
+
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{+}}
b
+
{\displaystyle b^{+}}
b
{\displaystyle b}
b
−
{\displaystyle b^{-}}
b
+
=
b
−
{\displaystyle b^{+}=b^{-}}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
0
+
=
0
{\displaystyle 0^{+}=0}
廣義逆 。
函數
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
表面看來，可以藉着考慮隨着
b
{\displaystyle b}
0
{\displaystyle 0}
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
對於任何正數
a
{\displaystyle a}
lim
b
→
0
+
a
b
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty }
另一方面，左極限是
lim
b
→
0
−
a
b
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty }
由於左極限及右極限不相同，因此函數在
x
=
0
{\displaystyle x=0}
a
{\displaystyle a}
如果分子及分母均為零或趨向零，則可使用洛必達法則 計算。
不定型 （Indeterminate Form）的極限可透過四則運算 或洛必達法則 計算。
考慮函數
f
(
x
)
=
x
2
−
9
x
−
3
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}}
如果直接代入
x
=
3
{\displaystyle x=3}
f
(
3
)
=
3
2
−
9
3
−
3
=
0
0
{\displaystyle f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}}
但透過約簡分子及分母，該點的極限是可以計算的。
lim
x
→
3
x
2
−
9
x
−
3
=
lim
x
→
3
(
x
+
3
)
(
x
−
3
)
x
−
3
=
lim
x
→
3
x
+
3
=
6
{\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim _{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=6}
此外，函數的極限可透過洛必達法則 計算。
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
若隨着
x
{\displaystyle x}
0
{\displaystyle 0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
0
{\displaystyle 0}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
運用形式推算
lim
x
→
0
1
x
=
lim
x
→
0
1
lim
x
→
0
x
=
∞
.
{\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .}
集合
C
∪
{
∞
}
{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}
黎曼球 （Riemann sphere ），在複分析 中相當重要。
在計算機中，除以零的結果根據編程語言、軟硬件環境、數據類型、數值而不同。部分語言中，無論是整數還是浮點數，除以0均會產生異常，而在另一部分語言中，整數除以零會產生異常或未定義行為 ，而浮點數除以零的結果如下：
零與NaN除以零：NaN （註：NaN不等於NaN）
零與NaN以外的數除以符號相同的0（如1除以0）：正無窮大
零與NaN以外的數除以符號不同的0（如1除以-0 、-1除以0）：負無窮大
Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea , Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.). Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences , Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).
Jakub Czajko (July 2004) "", Chaos, Solitons and Fractals , volume 21, number 2, pages 261–271.
