根轴

根轴（英语：radical axis）是由两个圆唯一确定的，与两圆连心线垂直的直线，其定义为关于两圆的圆幂相等的点的轨迹。

性质

几何形状及其位置的确定

令向量${\vec {x}}$、${\vec {m}}_{1}$、${\vec {m}}_{2}$分别为根轴上的点 $P$、两圆圆心$M_{1}$、$M_{2}$的位置。则根轴的“曲线”方程为：

$({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2},$

即

$2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0.$

$d_{1},d_{2}$的定义和计算

从右等式可知根轴是一条垂直于连心线的直线。因${\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}$内积大小仅由$x$在${\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}$方向的分量决定，所以根轴是一条垂直于连心线的直线。

根轴在连心线上的垂足$L$与圆心$M_{1}$、$M_{2}$的距离$d_{1}$、$d_{2}$分别满足
$d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}$,
其中 $d=|M_{1}M_{2}|$.

如果两圆相交，则根轴为它们交点的连线；如果两圆相切，则根轴为它们的公切线。

根心

定义

三个圆能画出三条根轴，这三条根轴交于一点，称为三个圆的根心，若三个圆的圆心共线，则其根心为垂直于连心线方向上的无穷远点。

存在性的证明

考虑三圆$Q_{1}$、$Q_{2}$、$Q_{3}$两两构成的三条根轴。令$P$为$Q_{1}$、$Q_{2}$根轴以及$Q_{1}$、$Q_{3}$根轴的交点。有

$\operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{2}}(P)$，$\operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{3}}(P)$，

其中$\operatorname {Pow} _{Q_{i}}(P)$表示点$P$关于圆$Q_{i}$的幂。

则知点$P$关于$Q_{2}$和$Q_{3}$的圆幂都相等，因此它在第三条根轴上，换言之，三条根轴共点，存在根心。

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Radical Line. MathWorld.