根軸

根軸（英語：radical axis）是由兩個圓唯一確定的，與兩圓連心線垂直的直線，其定義為關於兩圓的圓冪相等的點的軌跡。

性質

幾何形狀及其位置的確定

令向量${\vec {x}}$、${\vec {m}}_{1}$、${\vec {m}}_{2}$分別為根軸上的點 $P$、兩圓圓心$M_{1}$、$M_{2}$的位置。則根軸的「曲線」方程為：

$({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2},$

即

$2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0.$

$d_{1},d_{2}$的定義和計算

從右等式可知根軸是一條垂直於連心線的直線。因${\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}$內積大小僅由$x$在${\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}$方向的分量決定，所以根軸是一條垂直於連心線的直線。

根軸在連心線上的垂足$L$與圓心$M_{1}$、$M_{2}$的距離$d_{1}$、$d_{2}$分別滿足
$d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}$,
其中 $d=|M_{1}M_{2}|$.

如果兩圓相交，則根軸為它們交點的連線；如果兩圓相切，則根軸為它們的公切線。

根心

定義

三個圓能畫出三條根軸，這三條根軸交於一點，稱為三個圓的根心，若三個圓的圓心共線，則其根心為垂直於連心線方向上的無窮遠點。

存在性的證明

考慮三圓$Q_{1}$、$Q_{2}$、$Q_{3}$兩兩構成的三條根軸。令$P$為$Q_{1}$、$Q_{2}$根軸以及$Q_{1}$、$Q_{3}$根軸的交點。有

$\operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{2}}(P)$，$\operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{3}}(P)$，

其中$\operatorname {Pow} _{Q_{i}}(P)$表示點$P$關於圓$Q_{i}$的冪。

則知點$P$關於$Q_{2}$和$Q_{3}$的圓冪都相等，因此它在第三條根軸上，換言之，三條根軸共點，存在根心。

外部鏈結

• 埃里克·韋斯坦因. Radical Line. MathWorld.