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星形菱形三十面体

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星形菱形三十面体
部分的星形菱形三十面体
完全星形菱形三十面体
完全星形菱形三十面体
菱形六十面体
菱形六十面体 		大菱形三十面体
大菱形三十面体

在几何学中，星形菱形三十面体是指菱形三十面体的星形化体，即把菱形三十面体的面和边沿伸直到向外相交成星形的立体。温尼尔在他的书《多面体模型》中列出许多星形多面体模型，其中也收录了一些星形菱形三十面体[1]，例如内侧菱形三十面体[2][3]。

历史

星形菱形三十面体是一种多面体类型，属于此类的多面体数量非常庞大。埃德（Ede）在1958年时列举了13种基本的星形菱形三十面体类型[4]。鲍莱（Pawley）在1973年时提出了一些规则以令星形菱形三十面体可以完全被枚举[5]。

这些多面体种类繁多，大多都并未被观察及描绘，因此大多数并未命名。梅塞尔（Messer）在1995年描述了其中227个星形化体[6]（含原像菱形三十面体在内，即1种凸多面体和226种星形多面体[7][8]）。

种类

菱形三十面体透过全部匹配能产生227种星形菱形三十面体[9]，其中包括了115个镜像不变的立体和112个具有手性镜像的立体；透过米勒的规则[10] 可以产生358833098种星形菱形三十面体，其中包括了84959个镜像不变的立体和358748139种具有手性镜像的立体[9]。

已命名的星形菱形三十面体

已命名的星形菱形三十面体十分少，其命名的原因多半与星形菱形三十面体无关，而是因为其他研究的同时刚好研究的立体属于星形菱形三十面体，例如五复合立方体虽是一种星形菱形三十面体[11]，但其因为是立方体复合体的相关研究而得名[12]。

黄金一百二十面体

第一星形菱形三十面体的简单多面体形式有120个面，又称黄金一百二十面体。

第一星形菱形三十面体，又称黄金一百二十面体，是菱形三十面体星形化的第一种形式，其对应形状转化为间单多面体（即去除自相交面隐没于立体内部的面）后所形成的立体共由120个面、62个顶点和180条边组成，且五种帕雷托立体皆可以共用顶点地嵌入这个立体中。[13]

黄金一百二十面体的顶点座标都是由以下集合的元素组成[13]：

{−φ³, −φ², −φ, 0, φ, φ², φ³}

其中，φ为黄金比例。

黄金一百二十面体的62个顶点，其中20个是来自一个正十二面体（或是为五个正四面体以两种方式重和的五复合正四面体）、5x6=30个来自5个正八面体和12个来自一个正二十面体。[13]

列表

名称 对称群 图像 星状图
菱形三十面体 Ih
黄金一百二十面体 Ih
菱形六十面体[14] Ih
五复合立方体[12] Ih
内侧菱形三十面体[2] Ih
大菱形三十面体[15] Ih
完全星形菱形三十面体[11] Ih

用途

部分星形菱形三十面体被一些数学学者认为是具代表性的立体，用于一些与几何学相关著作的封面或标志，例如大菱形三十面体[16][15]和菱形六十面体[i][17]。前者被用于多面体领域著名著作《正多胞形》的封面上[16][15]，后者为Wolfram Alpha的标志。[17]

参见

参考文献

  1. ^ Wenninger, Magnus（英语：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  2. ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. (编). Medial Rhombic Triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  （原始内容存档于2016-09-01）.
  3. ^ Medial Rhombic Triacontahedron. software3d.com. （原始内容存档于2016-03-04）. 
  4. ^ Ede, J. D. "Rhombic Triacontahedra". Math. Gaz. 1958, 42: pp.98–100. 
  5. ^ Pawley, G. S. "The 227 triacontahedra.". Geometriae Dedicata. 1975-08-01, 4 (2): pp.221–232. doi:10.1007/BF00148756. 
  6. ^ Messer, P. W. "Stellations of the Rhombic Triacontahedron and Beyond.". Structural Topology. 1995, 21: pp.25–46. 
  7. ^ George W. Hart. List of Stellations of the Rhombic Triacontahedron. Virtual Polyhedra. 1996 [2020-08-17]. （原始内容存档于2019-12-30）. 
  8. ^ Paulo Freire. Stellations of the Rhombic Triacontahedron. mpifr-bonn.mpg.de. 1996 [2020-08-17]. （原始内容存档于2019-05-04）. 
  9. ^ 9.0 9.1 Webb, R. "Enumeration of Stellations.". software3d.com. [2019-09-06]. （原始内容存档于2019-04-27）. 
  10. ^ Guy's. Stellation and facetting - a brief history. steelpillow.com. 2010-12-19 [2016-03-26]. （原始内容存档于2016-03-04）. 
  11. ^ 11.0 11.1 George W. Hart. Stellations of the Rhombic Triacontahedron. Virtual Polyhedra. 1996 [2020-08-17]. （原始内容存档于2019-12-29）. 
  12. ^ 12.0 12.1 Weisstein, Eric W. (编). Compound of Five Cubes. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  13. ^ 13.0 13.1 13.2 Lynnclaire Dennis' polyhedra. www.polyhedra-world.nc. 2005-06-25 [2022-07-30]. （原始内容存档于2022-07-30）. 
  14. ^ Weisstein, Eric W. (编). Rhombic hexecontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  15. ^ 15.0 15.1 15.2 Weisstein, Eric W. (编). Great rhombic triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  16. ^ 16.0 16.1 Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 103, 1973. ISBN 978-0486614809
  17. ^ 17.0 17.1 Weisstein, E. W. "the-story-of-spikey". 2018-12-28 [2020-08-20]. （原始内容存档于2020-07-18）. 
一手资料
  1. ^ Weisstein, E. W. "What's In a Name? That Which We Call a Rhombic Hexecontahedron.". 2009-05-19 [2020-08-20]. （原始内容存档于2020-02-15）. 

外部链接

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