态叠加原理

在双缝实验里，从光源$\mathrm {a}$传播出来的相干光子束，照射在一块刻有两条狭缝$\mathrm {b}$和$\mathrm {c}$的不透明挡板$\mathrm {S2}$。在挡板的后面，摆设了摄影胶卷或某种侦测屏$\mathrm {F}$，用来纪录到达$\mathrm {F}$的任何位置$\mathrm {d}$的光子数据。最右边黑白相间的条纹，显示出光子在侦测屏$\mathrm {F}$的干涉图样。

在量子力学里，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一个量子系统的量子态可以是几种不同量子态中的任意一种，则它们的归一化线性组合也可以是其量子态。称这线性组合为“叠加态”。假设组成叠加态的几种量子态相互正交，则这量子系统处于其中任意量子态的概率是对应权值的绝对值平方。

从数学表述，态叠加原理是薛定谔方程的解所具有的性质。由于薛定谔方程是个线性方程，任意几个解的线性组合也是解。这些形成线性组合（称为“叠加态”）的解时常会被设定为相互正交（称为“基底态”），例如氢原子的电子能级态；换句话说，这几个基底态彼此之间不会出现重叠。这样，对于叠加态测量任意可观察量所得到的期望值，是对于每一个基底态测量同样可观察量所得到的期望值，乘以叠加态处于对应基底态的概率之后，所有乘积的总和。

更具体地说明，假设对于某量子系统测量可观察量$A$，而可观察量$A$的本征态$|a_{1}\rangle$、$|a_{2}\rangle$分别拥有本征值$a_{1}$、$a_{2}$，则根据薛定谔方程的线性关系，叠加态$|\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle$也可以是这量子系统的量子态；其中，$c_{1}$、$c_{2}$分别为叠加态处于本征态$|a_{1}\rangle$、$|a_{2}\rangle$的概率幅。假设对这叠加态系统测量可观察量$A$，则测量获得数值是$a_{1}$或$a_{2}$的概率分别为$|c_{1}|^{2}$、$|c_{2}|^{2}$，期望值为$\langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}$。

举一个可直接观察到量子叠加的实例，在双缝实验里，可以观察到通过两条狭缝的光子相互干涉，造成了显示于侦测屏障的明亮条纹和黑暗条纹，这就是双缝实验著名的干涉图样。

再举一个案例，在量子运算里，量子比特是的两个基底态$|0\rangle$与$|1\rangle$的线性叠加。这两个基底态$|0\rangle$、$|1\rangle$的本征值分别为$0$、$1$。

理论

在数学里，叠加原理表明，线性方程的任意几个解所组成的线性组合也是这方程的解。由于薛定谔方程是线性方程，叠加原理也适用于量子力学，在量子力学里称为态叠加原理。假设某量子系统的量子态可以是 $|f_{1}\rangle$或$|f_{2}\rangle$ ，这些量子态都满足描述这量子系统物理行为的薛定谔方程。则这量子系的量子态也可以是它们的线性组合$|f\rangle =c_{1}|f_{1}\rangle +c_{2}|f_{2}\rangle$，也满足同样的薛定谔方程；其中，$c_{1}$、$c_{2}$是复值系数，为了归一化$|f\rangle$，必须让$|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$。

假设$\theta$为实数，则虽然$e^{i\theta }|f_{2}\rangle$与$|f_{2}\rangle$标记同样的量子态，他们并无法相互替换。例如，$|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle$、$|f_{1}\rangle +e^{i\theta }|f_{2}\rangle$分别标记两种不同的量子态。但是，$|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle$和$e^{i\theta }(|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle )$都标记同一个量子态。因此可以这样说，整体的相位因子并不具有物理意义，但相对的相位因子具有重要的物理意义。这种相位因子固定不变的量子叠加称为“相干量子叠加”。

电子自旋范例

设想自旋为$1/2$的电子，它拥有两种相互正交的自旋本征态，上旋态$|\uparrow \rangle$与下旋态$|\downarrow \rangle$，它们的量子叠加可以用来表示量子比特：

$|\psi \rangle =c_{\uparrow }|\uparrow \rangle +c_{\downarrow }|\downarrow \rangle$；

其中，$c_{\uparrow }$、$c_{\downarrow }$分别是复值系数，为了归一化$|\psi \rangle$，必须让$|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1$。

这是最一般的量子态。系数$c_{\uparrow }$、$c_{\downarrow }$分别给定电子处于上旋态或下旋态的概率：

$p_{\uparrow }=|c_{\uparrow }|^{2}$、

$p_{\downarrow }=|c_{\downarrow }|^{2}$。

总概率应该等于1： $p=p_{\uparrow }+p_{\downarrow }=|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1$。

这电子也可能处于这两个量子态的叠加态：

$|\psi \rangle ={3i \over 5}|\uparrow \rangle +{4 \over 5}|\downarrow \rangle$。

电子处于上旋态或下旋态的概率分别为

$p_{\uparrow }=\left|\;{\frac {3i}{5}}\;\right|^{2}={\frac {9}{25}}$、

$p_{\downarrow }=\left|\;{\frac {4}{5}}\;\right|^{2}={\frac {16}{25}}$。

再次注意到总概率应该等于1：

$p={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1$。

非相对论性自由粒子案例

描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程为

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$；

其中，$\hbar$是约化普朗克常数，$\Psi (\mathbf {r} ,t)$是粒子的波函数，$\mathbf {r}$是粒子的位置，$t$是时间。

这薛定谔方程有一个平面波解：

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$；

其中，$\mathbf {k}$是波矢，$\omega$是角频率。

代入薛定谔方程，这两个变数必须遵守关系式

${\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega$。

由于粒子存在的概率等于1，波函数$\Psi (\mathbf {r} ,t)$必须归一化，才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为很多平面波的量子叠加：

$\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k}$；

其中，积分区域$\mathbb {K}$是$\mathbf {k}$-空间。

为了方便计算，只思考一维空间，

$\Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ \mathrm {d} k$；

其中，振幅$A(k)$是量子叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数表示为

$A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x$；

其中，$\Psi (x,0)$是在时间$t=0$的波函数。

所以，知道在时间$t=0$的波函数$\Psi (x,0)$，通过傅里叶变换，可以推导出在任何时间的波函数$\Psi (x,t)$。

参见

• 叠加原理
• 波函数
• Delta 位势阱
• Delta 位势垒

参考文献

• Bohr, N. (1927/1928). The quantum postulate and the recent development of atomic theory, Nature Supplement 14 April 1928, 121: 580–590 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. (1973/1977). Quantum Mechanics, translated from the French by S. R. Hemley, N. Ostrowsky, D. Ostrowsky, second edition, volume 1, Wiley, New York, ISBN 0471164321.
• Dirac, P. A. M. (1930/1958). The Principles of Quantum Mechanics, 4th edition, Oxford University Press.
• Einstein, A. (1949). Remarks concerning the essays brought together in this co-operative volume, translated from the original German by the editor, pp. 665–688 in Schilpp, P. A. editor (1949), Albert Einstein: Philosopher-Scientist （页面存档备份，存于互联网档案馆）, volume II, Open Court, La Salle IL.
• Feynman, R. P., Leighton, R.B., Sands, M. (1965). The Feynman Lectures on Physics, volume 3, Addison-Wesley, Reading, MA.
• Merzbacher, E. (1961/1970). Quantum Mechanics, second edition, Wiley, New York.
• Messiah, A. (1961). Quantum Mechanics, volume 1, translated by G.M. Temmer from the French Mécanique Quantique, North-Holland, Amsterdam.
• Wheeler, J. A.; Zurek, W.H. Quantum Theory and Measurement. Princeton NJ: Princeton University Press. 1983.