归并排序

归并排序
归并排序
	使用合并排序为一列数字进行排序的过程
概况
类别	排序算法
数据结构	数组
复杂度
平均时间复杂度
最坏时间复杂度
最优时间复杂度
空间复杂度
最佳解	有时是
相关变量的定义

归并排序（英语：Merge sort，或mergesort），是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，效率为 $O(n\log n)$ （大O符号）。1945年由约翰·冯·诺伊曼首次提出。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用，且各层分治递归可以同时进行。

概述

采用分治法:

分割：递归地把当前序列平均分割成两半。
集成：在保持元素顺序的同时将上一步得到的子序列集成到一起（归并）。

归并操作

归并操作（merge），也叫归并算法，指的是将两个已经排序的序列合并成一个序列的操作。归并排序算法依赖归并操作。

递归法（Top-down）

申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列
设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
重复步骤3直到某一指针到达序列尾
将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

迭代法（Bottom-up）

原理如下（假设序列共有 $n$ 个元素）：

将序列每相邻两个数字进行归并操作，形成 $ceil(n/2)$ 个序列，排序后每个序列包含两/一个元素
若此时序列数不是1个则将上述序列再次归并，形成 $ceil(n/4)$ 个序列，每个序列包含四/三个元素
重复步骤2，直到所有元素排序完毕，即序列数为1

实现示例

C语言

迭代版：

int min(int x, int y) {
    return x < y ? x : y;
}
void merge_sort(int arr[], int len) {
    int *a = arr;
    int *b = (int *) malloc(len * sizeof(int));
    int seg, start;
    for (seg = 1; seg < len; seg += seg) {
        for (start = 0; start < len; start += seg * 2) {
            int low = start, mid = min(start + seg, len), high = min(start + seg * 2, len);
            int k = low;
            int start1 = low, end1 = mid;
            int start2 = mid, end2 = high;
            while (start1 < end1 && start2 < end2)
                b[k++] = a[start1] < a[start2] ? a[start1++] : a[start2++];
            while (start1 < end1)
                b[k++] = a[start1++];
            while (start2 < end2)
                b[k++] = a[start2++];
        }
        int *temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }
    if (a != arr) {
        int i;
        for (i = 0; i < len; i++)
            b[i] = a[i];
        b = a;
    }
    free(b);
}

递归版：

// 分治-治
void mergeSort_conquer(int* array, int left, int mid, int right, int* temp) {
    // [left, mid]和[mid+1, right]两个有序数组
    int i = left;
    int j = mid + 1;
    int index = 0;
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (array[i] < array[j]) {
            temp[index++] = array[i++];
        } else {
            temp[index++] = array[j++];
        }
    }
    // 剩余元素直接放入temp
    while (i <= mid) {
        temp[index++] = array[i++];
    }
    while (j <= right) {
        temp[index++] = array[j++];
    }
    // 放回原数组
    index = 0;
    while (left <= right) {
        array[left++] = temp[index++];
    }
}

// 分治-分
void mergeSort_divide(int* array, int left, int right, int* temp) {
    if (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        // 左边归并排序
        mergeSort_divide(array, left, mid, temp);
        // 右边归并排序
        mergeSort_divide(array, mid + 1, right, temp);
        // 合并两个有序序列
        mergeSort_conquer(array, left, mid, right, temp);
    }
}

void mergeSort(int* array, int size) {
    int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * size);
    mergeSort_divide(array, 0, size - 1, temp);
}

C++

迭代版：

template<typename T> // 整數或浮點數皆可使用,若要使用物件(class)時必須設定"小於"(<)的運算子功能
void merge_sort(T arr[], int len) {
    T *a = arr;
    T *b = new T[len];
    for (int seg = 1; seg < len; seg += seg) {
        for (int start = 0; start < len; start += seg + seg) {
            int low = start, mid = min(start + seg, len), high = min(start + seg + seg, len);
            int k = low;
            int start1 = low, end1 = mid;
            int start2 = mid, end2 = high;
            while (start1 < end1 && start2 < end2)
                b[k++] = a[start1] < a[start2] ? a[start1++] : a[start2++];
            while (start1 < end1)
                b[k++] = a[start1++];
            while (start2 < end2)
                b[k++] = a[start2++];
        }
        T *temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }
    if (a != arr) {
        for (int i = 0; i < len; i++)
            b[i] = a[i];
        b = a;
    }
    delete[] b;
}

递归版：

void Merge(vector<int> &Array, int front, int mid, int end) {
    // preconditions:
    // Array[front...mid] is sorted
    // Array[mid+1 ... end] is sorted
    // Copy Array[front ... mid] to LeftSubArray
    // Copy Array[mid+1 ... end] to RightSubArray
    vector<int> LeftSubArray(Array.begin() + front, Array.begin() + mid + 1);
    vector<int> RightSubArray(Array.begin() + mid + 1, Array.begin() + end + 1);
    int idxLeft = 0, idxRight = 0;
    LeftSubArray.insert(LeftSubArray.end(), numeric_limits<int>::max());
    RightSubArray.insert(RightSubArray.end(), numeric_limits<int>::max());
    // Pick min of LeftSubArray[idxLeft] and RightSubArray[idxRight], and put into Array[i]
    for (int i = front; i <= end; i++) {
        if (LeftSubArray[idxLeft] < RightSubArray[idxRight]) {
            Array[i] = LeftSubArray[idxLeft];
            idxLeft++;
        } else {
            Array[i] = RightSubArray[idxRight];
            idxRight++;
        }
    }
}

void MergeSort(vector<int> &Array, int front, int end) {
    if (front >= end)
        return;
    int mid = front + (end - front) / 2;
    MergeSort(Array, front, mid);
    MergeSort(Array, mid + 1, end);
    Merge(Array, front, mid, end);
}

^[1]

C#

public static List<int> sort(List<int> lst) {
    if (lst.Count <= 1)
        return lst;
    int mid = lst.Count / 2;
    List<int> left = new List<int>();  // 定义左侧List
    List<int> right = new List<int>(); // 定义右侧List
    // 以下兩個循環把 lst 分為左右兩個 List
    for (int i = 0; i < mid; i++)
        left.Add(lst[i]);
    for (int j = mid; j < lst.Count; j++)
        right.Add(lst[j]);
    left = sort(left);
    right = sort(right);
    return merge(left, right);
}
/// <summary>
/// 合併兩個已經排好序的List
/// </summary>
/// <param name="left">左側List</param>
/// <param name="right">右側List</param>
/// <returns></returns>
static List<int> merge(List<int> left, List<int> right) {
    List<int> temp = new List<int>();
    while (left.Count > 0 && right.Count > 0) {
        if (left[0] <= right[0]) {
            temp.Add(left[0]);
            left.RemoveAt(0);
        } else {
            temp.Add(right[0]);
            right.RemoveAt(0);
        }
    }
    if (left.Count > 0) {
        for (int i = 0; i < left.Count; i++)
            temp.Add(left[i]);
    }
    if (right.Count > 0) {
        for (int i = 0; i < right.Count; i++)
            temp.Add(right[i]);
    }
    return temp;
}

Ruby

def merge list
  return list if list.size < 2

  pivot = list.size / 2

  # Merge
  lambda { |left, right|
    final = []
    until left.empty? or right.empty?
      final << if left.first < right.first; left.shift else right.shift end
    end
    final + left + right
  }.call merge(list[0...pivot]), merge(list[pivot..-1])
end

Java

递归版：

static void merge_sort_recursive(int[] arr, int[] result, int start, int end) {
	if (start >= end)
		return;
	int len = end - start, mid = (len >> 1) + start;
	int start1 = start, end1 = mid;
	int start2 = mid + 1, end2 = end;
	merge_sort_recursive(arr, result, start1, end1);
	merge_sort_recursive(arr, result, start2, end2);
	int k = start;
	while (start1 <= end1 && start2 <= end2)
		result[k++] = arr[start1] < arr[start2] ? arr[start1++] : arr[start2++];
	while (start1 <= end1)
		result[k++] = arr[start1++];
	while (start2 <= end2)
		result[k++] = arr[start2++];
	for (k = start; k <= end; k++)
		arr[k] = result[k];
}
public static void merge_sort(int[] arr) {
	int len = arr.length;
	int[] result = new int[len];
	merge_sort_recursive(arr, result, 0, len - 1);
}

迭代版：

public static void merge_sort(int[] arr) {
	int[] orderedArr = new int[arr.length];
	for (int i = 2; i < arr.length * 2; i *= 2) {
		for (int j = 0; j < (arr.length + i - 1) / i; j++) {
			int left = i * j;
			int mid = left + i / 2 >= arr.length ? (arr.length - 1) : (left + i / 2);
			int right = i * (j + 1) - 1 >= arr.length ? (arr.length - 1) : (i * (j + 1) - 1);
			int start = left, l = left, m = mid;
			while (l < mid && m <= right) {
				if (arr[l] < arr[m]) {
					orderedArr[start++] = arr[l++];
				} else {
					orderedArr[start++] = arr[m++];
				}
			}
			while (l < mid)
				orderedArr[start++] = arr[l++];
			while (m <= right)
				orderedArr[start++] = arr[m++];
			System.arraycopy(orderedArr, left, arr, left, right - left + 1);
		}
	}
}

PHP

function merge_sort($arr) {
	$len = count($arr);
	if ($len <= 1)
		return $arr;
	$half = ($len>>1) + ($len & 1);
	$arr2d = array_chunk($arr, $half);
	$left = merge_sort($arr2d[0]);
	$right = merge_sort($arr2d[1]);
	while (count($left) && count($right))
		if ($left[0] < $right[0])
			$reg[] = array_shift($left);
		else
			$reg[] = array_shift($right);
	return array_merge($reg, $left, $right);
}

$arr = array(21, 34, 3, 32, 82, 55, 89, 50, 37, 5, 64, 35, 9, 70);
$arr = merge_sort($arr);
for ($i = 0; $i < count($arr); $i++) {
	echo $arr[$i] . ' ';
}

Python3

def mergeSort(nums):
    if len(nums) < 2:
        return nums
    mid = len(nums) // 2
    left = mergeSort(nums[:mid])
    right = mergeSort(nums[mid:])

    i = j = 0
    result = []
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] < right[j]: 
            result.append(left[i])
            i += 1
        else: 
            result.append(right[j])
            j += 1

    while i < len(left): 
        result.append(left[i]) 
        i += 1

    while j < len(right): 
        result.append(right[j]) 
        j += 1

    return result


if __name__ == "__main__":
    nums = [1, 4, 2, 3.6, -1, 0, 25, -34, 8, 9, 1, 0]
    print("original:", nums)
    print("Sorted:", mergeSort(nums))

Erlang

%% @doc 归并排序
g_sort([]) ->
    [];
g_sort([T]) ->
    [T];
g_sort(L) ->
    g_sort(L, length(L)).

g_sort([_, _ | _] = L, Length) ->
    SplitNum = trunc(Length / 2),
    {L1, L2} = lists:split(SplitNum, L),
    g_merge(g_sort(L1, SplitNum), g_sort(L2, Length - SplitNum));
g_sort(L, _Length) ->
    L.

%% 已经排好序的两个list合并
g_merge([], L2) ->
    L2;
g_merge(L1, []) ->
    L1;
g_merge([T1 | Rest1] = L1, [T2 | Rest2] = L2) ->
    if
        T1 =< T2 -> [T1 | g_merge(Rest1, L2)];
        true -> [T2 | g_merge(L1, Rest2)]
    end.

Javascript

递归法

function merge(left, right){
  var result = [];
  while(left.length > 0 && right.length > 0){
    if(left[0] < right[0]){
      result.push(left.shift());
    }else{
      result.push(right.shift());
    }
  }
  return result.concat(left, right);
}

function mergeSort(arr){
  if(arr.length <=1) return arr;
  var middle = Math.floor(arr.length / 2);
  var left = arr.slice(0, middle);
  var right = arr.slice(middle);
  return merge(mergeSort(left), mergeSort(right));
}

迭代法

Go

package main

import (
	"fmt"
	"sort"
)

func MergeSort(list []int) []int {
	var length = len(list)
	if length < 2 {
		return list
	}
	var mid = length / 2
	return merge(MergeSort(list[:mid]), MergeSort(list[mid:]))
}

func merge(x, y []int) []int {
	var r []int = make([]int, len(x)+len(y))
	for i, j := 0, 0; ; {
		if i < len(x) && (j == len(y) || x[i] < y[j]) {
			r[i+j] = x[i]
			i++
		} else if j < len(y) {
			r[i+j] = y[j]
			j++
		} else {
			break
		}
	}
	return r
}

func main() {
	var list []int = []int{56, 48, 58, 94, 87, 4, 5, 61, 5, 8, 74, 9, 84, 15, 94, 9, 4, 31, 41, 68, 7, 4, 6, 94, 16, 9, 8, 4}
	fmt.Println(MergeSort(list))
	fmt.Println(list)

	sort.Ints(list)
	fmt.Println(list)
}

递归版

package main

import (
	"fmt"
)

func merge(data []int) []int {
	sum := len(data)
	if sum <= 1 {
		return data
	}
	left := data[0 : sum/2]
	lSize := len(left)
	if lSize >= 2 {
		left = merge(left)
	}
	right := data[sum/2:]
	rSize := len(right)
	if rSize >= 2 {
		right = merge(right)
	}
	j := 0
	t := 0
	arr := make([]int, sum)
	fmt.Println(left, right, data)
	for i := 0; i < sum; i++ {
		if j < lSize && t < rSize {
			if left[j] <= right[t] {
				arr[i] = left[j]
				j++
			} else {
				arr[i] = right[t]
				t++
			}	
		}  else if j >= lSize{
			arr[i] = right[t]
			t++
		}  else if t >= rSize{
			arr[i] = left[j]
			j++
		}
	}
	return arr
}

func main() {
	var aa = []int{1000, 2, 31, 34, 5, 9, 7, 4, 6, 89, 90, 99, 99, 99, 99, 99}
	
	var bb = merge(aa)
	fmt.Println(bb)
}

算法复杂度

比较操作的次数介于 $(n\log n)/2$ 和 $n\log n-n+1$ 。

赋值操作的次数是 $(2n\log n)$ 。归并算法的空间复杂度为： $\Theta (n)$

参考文献

^ Cormen, Thomas H. （英语：Thomas H. Cormen）; Leiserson, Charles E. （英语：Charles E. Leiserson）; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford. Section 2.3: Designing algorithms. Introduction to Algorithms 3rd. MIT Press and McGraw-Hill. 2009: 29–34 [1990]. ISBN 0-262-03384-4. .

外部链接

Dictionary of Algorithms and Data Structures: Merge sort （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Merge sort Algorithm with example program （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Merge Sort Algorithm Simulation
Mergesort For Linked Lists （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Mergesort in Java, Python, Perl, C, Ruby

[1] Cormen, Thomas H. （英语：Thomas H. Cormen）; Leiserson, Charles E. （英语：Charles E. Leiserson）; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford. Section 2.3: Designing algorithms. Introduction to Algorithms 3rd. MIT Press and McGraw-Hill. 2009: 29–34 [1990]. ISBN 0-262-03384-4. .

[1]

查论编排序算法
理论	计算复杂性理论大O符号全序关系数据结构术语列表原地算法稳定性比较排序自适应排序（英语：Adaptive sort）排序网络（英语：Sorting network）整数排序（英语：Integer sorting） X+Y排序（英语：X + Y sorting）量子排序（英语：Quantum sort）
交换排序	冒泡排序鸡尾酒排序奇偶排序梳排序侏儒排序快速排序慢速排序臭皮匠排序 Bogo排序
选择排序	选择排序堆排序平滑排序（英语：Smoothsort）笛卡尔树排序（英语：Cartesian tree sort）锦标赛排序（英语：Tournament sort）圈排序（英语：Cycle sort）弱堆排序（英语：Weak heap）
插入排序	插入排序希尔排序伸展排序二叉查找树排序图书馆排序耐心排序
归并排序	归并排序梯级归并排序（英语：Cascade merge sort）振荡归并排序（英语：Oscillating merge sort）多相归并排序（英语：Polyphase merge sort）
分布排序	美国旗帜排序（英语：American flag sort）珠排序桶排序爆炸排序（英语：Burstsort）计数排序比较计数排序插值排序鸽巢排序相邻图排序（英语：Proxmap sort）基数排序闪电排序（英语：Flashsort）
并发排序	双调排序器（英语：Bitonic sorter） Batcher归并网络两两排序网络（英语：Pairwise sorting network）
混合排序	块排序（英语：Block sort） Tim排序内省排序 Spread排序（英语：Spreadsort）归并插入排序（英语：Merge-insertion sort）
其他	拓扑排序煎饼排序意粉排序（英语：Spaghetti sort）