埃奇沃斯级数
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埃奇沃斯级数(Edgeworth series)是以爱尔兰经济学家埃奇沃斯来命名的。它和 Gram-Charlier A series 一样,是把一个随机变量的概率密度函数展成级数,级数中的每一项是用该随机变量的累积量来表达。对同一个分布,Gram-Charlier A series 和埃奇沃斯级数展出来是同样的级数,只是项的排列不同。(也因此只取前几项作为逼近时的误差会有所不同)
Gram-Charlier A series
Gram-Charlier A series 的主要想法,是把待逼近分布(以F 为它的密度函数)的特征方程,写成另一个已知分布的特征方程的展式,再经过傅里叶变换的逆变换,就可以求得F 的展式。
假设f 是待逼近分布的特征方程,是这个分布的 累积量。现在将它展成和另一个已知分布相关的级数。该已知分布的密度函数为 ,特征函数为 ,累积量 为 。常见的作法是选用常态分布作为已知分布,但事实上选用其它的分布函数也是可行的。由累积量的定义,下列这个等式是恒成立的:
由傅里叶变换的性质,(it)rψ(t) 是 (−1)r Dr (x) 的傅里叶变换,其中 D 代对 x 的微分算子。这样我们就得到 F 的一个级数
如果令 为常态分布的密度函数且其期望和方差与分布 F相同,也就是说,期望 μ = κ1,方差 σ2 = κ2,则此展式变成
再将指数函数展开并按微分阶数逐项列出,就得到 Gram-Charlier A series。例如,选用正态分布做为已知分布,展到前两项就可以得到
其中 H3(x) = x3 − 3x;H4(x) = x4 − 6x2 + 3 (即埃尔米特多项式)
注意到以上的 series 并不保证函数值恒正,所以事实上并不一定是一个密度函数。在许多情况下,Gram-Charlier A series 会发散—仅当 x 趋近无限大时 F(x) 递降的比 exp(−x2/4) 快时它才会收敛 (Cramér 1957)。当它不收敛时,这不是一个真正的渐近展式,因为要估计这个展式的误差是不可能的。因此,一般的情况埃奇沃斯级数(见下一节)比 Gram-Charlier A series 更常用。
延伸阅读
- H. Cramér (1957). Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press, Princeton.
- D. L. Wallace (1958). "Asymptotic approximations to distributions". Annals of Mathematical Statistics 29:635–654.
- M. Kendall & A. Stuart (1977), The advanced theory of statistics, Vol 1: Distribution theory, 4th Edition, Macmillan, New York
- P. McCullagh (1987). Tensor Methods in Statistics. Chapman and Hall, London.
- D. R. Cox and O. E. Barndorff-Nielsen (1989). Asymptotic Techniques for Use in Statistics. Chapman and Hall, London.
- P. Hall (1992). The Bootstrap and Edgeworth Expansion. Springer, New York.
- S. Blinnikov and R. Moessner (1998). Expansions for nearly Gaussian distributions(页面存档备份,存于互联网档案馆). Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 130:193–205.
- J. E. Kolassa (2006). Series Approximation Methods in Statistics, 3rd Edition. (Lecture Notes in Statistics #88). Springer, New York.