埃奇沃斯级数

埃奇沃斯级数（Edgeworth series）是以爱尔兰经济学家埃奇沃斯来命名的。它和 Gram-Charlier A series 一样，是把一个随机变量的概率密度函数展成级数，级数中的每一项是用该随机变量的累积量来表达。对同一个分布，Gram-Charlier A series 和埃奇沃斯级数展出来是同样的级数，只是项的排列不同。（也因此只取前几项作为逼近时的误差会有所不同）

Gram-Charlier A series

Gram-Charlier A series 的主要想法，是把待逼近分布（以F 为它的密度函数）的特征方程，写成另一个已知分布的特征方程的展式，再经过傅里叶变换的逆变换，就可以求得F 的展式。

假设f 是待逼近分布的特征方程，$\kappa _{r}$是这个分布的 累积量。现在将它展成和另一个已知分布相关的级数。该已知分布的密度函数为 $\Psi$，特征函数为 $\psi$，累积量 为 $\gamma _{r}$。常见的作法是选用正态分布作为已知分布，但事实上选用其它的分布函数也是可行的。由累积量的定义，下列这个等式是恒成立的：

$f(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(it)^{r}}{r!}}\right]\psi (t)\,.$

由傅里叶变换的性质，(it)^rψ(t) 是 (−1)^r D^r $\Psi$(x) 的傅里叶变换，其中 D 代对 x 的微分算子。这样我们就得到 F 的一个级数

$F(x)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]\Psi (x)\,.$

如果令 $\Psi$ 为正态分布的密度函数且其期望和方差与分布 F相同，也就是说，期望 μ = κ₁，方差 σ² = κ₂，则此展式变成

$F(x)=\exp \left[\sum _{r=3}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\,.$

再将指数函数展开并按微分阶数逐项列出，就得到 Gram-Charlier A series。例如，选用正态分布做为已知分布，展到前两项就可以得到

$F(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[1+{\frac {\kappa _{3}}{3!\sigma ^{3}}}H_{3}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)+{\frac {\kappa _{4}}{4!\sigma ^{4}}}H_{4}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]\,,$

其中 H₃(x) = x³ − 3x；H₄(x) = x⁴ − 6x² + 3 （即埃尔米特多项式）

注意到以上的 series 并不保证函数值恒正，所以事实上并不一定是一个密度函数。在许多情况下，Gram-Charlier A series 会发散—仅当 x 趋近无限大时 F(x) 递降的比 exp(−x²/4) 快时它才会收敛 (Cramér 1957)。当它不收敛时，这不是一个真正的渐近展式，因为要估计这个展式的误差是不可能的。因此，一般的情况埃奇沃斯级数（见下一节）比 Gram-Charlier A series 更常用。

延伸阅读

• H. Cramér (1957). Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press, Princeton.
• D. L. Wallace (1958). "Asymptotic approximations to distributions". Annals of Mathematical Statistics 29:635–654.
• M. Kendall & A. Stuart (1977), The advanced theory of statistics, Vol 1: Distribution theory, 4th Edition, Macmillan, New York
• P. McCullagh (1987). Tensor Methods in Statistics. Chapman and Hall, London.
• D. R. Cox and O. E. Barndorff-Nielsen (1989). Asymptotic Techniques for Use in Statistics. Chapman and Hall, London.
• P. Hall (1992). The Bootstrap and Edgeworth Expansion. Springer, New York.
• S. Blinnikov and R. Moessner (1998). Expansions for nearly Gaussian distributions（页面存档备份，存于互联网档案馆）. Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 130:193–205.
• J. E. Kolassa (2006). Series Approximation Methods in Statistics, 3rd Edition. (Lecture Notes in Statistics #88). Springer, New York.