四次平面曲线

四次平面曲线（quartic plane curve）是四次的平面代数曲线，可以表示为以下的多变数四次方程：

$Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,$

A, B, C, D, E中至少要有一个不为0。方程式有15个常数，不过方程式若乘以非零的任意数，不会改变曲线，因此可以将其中一个常数固定为1，留下14个可调整的常数。四次曲线的空间可以视为是$\mathbb {RP} ^{14}$的实射影空间。依照克莱姆定理，若考虑一般位置下14个不同的点，通过这十四个点的四次平面曲线唯一，因此四次平面曲线的自由度为14。

四次曲线最多可以有：

• 四个相连的部分
• 28个双切线
• 3个一般的二重点。

也可以考虑在其他数学域（甚至是环）中的四次曲线，例如在复数中的四次曲线。此时可以得到黎曼曲面，在C上是一维的物件，但在R上是二维的物件。例如Klein四次曲线，另外也可以探讨射影平面下的曲线，由齐次多项式所定义。

举例

&符号曲线

Bean曲线

Bicuspid曲线

Bow 曲线

Cruciform曲线，红色的参数(b,a)为(1,1)，绿色的参数为(2,2)

Cruciform曲线，红色的参数(b,a)为(1,1)，绿色的参数为(2,1)，蓝色的参数为(3,1)

Spiric截面

笛卡儿坐标系下的三叶线

极坐标系下的三叶线

上述曲线中，系数的不同组合产生了以下重要的曲线族。

• Bicorn
• 子弹头曲线
• 笛卡儿椭圆形
• 卡西尼卵形线
• 三尖瓣线
• Hippopede
• 杖头线
• Klein四次曲线

• 双扭线
  • 伯努利双纽线
  • 8字型线
• 帕斯卡蜗线
• Lüroth四次曲线
• Spiric截面
• 方圆形
  • 拉梅的特殊四次曲线
• 环面截面
• 特洛特曲线

&符号曲线

&符号曲线（ampersand curve）是以下方程对应的四次曲线

$\ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.$

其亏格为0，有三个一般的双点，都在实数平面上。

Bean曲线

Bean曲线（bean curve）是以下方程对应的四次曲线

$x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,$

其亏格为0，在原点有一个奇点，是一个一般的三次点 。

Bicuspid曲线

bicuspid是方程式如下的四次曲线：

$(x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,$

其中a决定了曲线的大小。 bicuspid只有二个node为奇异点，因此是亏格为1的曲线。

Bow曲线

Bow曲线是方程式如下的四次曲线：

$x^{4}=x^{2}y-y^{3}.\,$

在x=0, y=0处有单一的三重点，是有理曲线，亏格为0。

Cruciform曲线

Cruciform曲线是以下方程的四次曲线

$x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,$

其中a和b为决定曲线形状的参数。 Cruciform曲线可以透过一个标准的二次变换x ↦ 1/x, y ↦ 1/y转变为椭圆a²x² + b²y² = 1，因此是亏格为0的有理平面代数曲线。Cruciform曲线在实射影平面中有三个双重点，是（x=0、y=0），（x=0 、z=0） 以及（y=0、z=0）。

此曲线是有理曲线，参数化后的结果也是有理函数。例如，令a=1及b=2，可得以下的参数式

$x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}$

其中唯一一个无法参数化的点是会让参数式分母为零的点。

Spiric截面

Spiric截面可以定义成对x轴及y轴对称的圆代数四次平面曲线。Spiric截面包括在环面曲线中，其中包括了hippopede及卡西尼卵形线。其英文名称Spiric源自古希腊文的环面σπειρα。

笛卡儿坐标系下的方程式为

$(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,$

极座标系的方程式为

$r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,$

三叶线

三叶线（three-leaved clover）是以下方程的四次平面曲线

$x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,$

在求解y后，曲线可以表示为以下的方程：

$y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},$

其中二个±是彼此独立的，因此每一个x会对应四个y值。

三叶线的参数式为

$x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,$

在极坐标（x = r cos φ, y = r sin φ）下的方程如下

$r=\cos(3\varphi ).\,$

这是玫瑰线中k = 3的特例。 三叶线在原点处为三重点，有三个二切线。