含时摄动理论

在量子力学里，含时摄动理论研究一个量子系统的含时摄动所产生的效应。这理论由狄拉克首先发展成功。由于系统的含摄动哈密顿量含时间，伴随的能级与本征态也含时间。所以，不同于不含时摄动理论，含时摄动理论解析问题的目标为：

• 给予初始量子态，求算某个可观测量 $A$ 的含时间期望值。
• 一个量子系统的含时间量子态，仍旧是这系统的不含时零摄动哈密顿量 $H_{0}$ 的本征态的线性组合。求算这系统的量子态处于某个本征态的概率幅。

第一个结果的重要性是，它可以预测由实验测量得到的答案。例如，思考一个氢原子的电子，其所在位置的 x-坐标的期望值 $\langle x\rangle$ ，当乘以适当的系数后，给出这电子的含时间偏振。将一个恰当的摄动（例如，一个震荡的电势）作用于氢气，应用含时摄动理论，我们可以计算出交流电的电容率。详细内容，请参阅条目介电谱学 (dielectric spectroscopy) 。

第二个结果着眼于量子态处于每一个本征态的概率。这概率与时间有关。在镭射物理学里，假若我们知道这概率，我们就可以计算一个气体，因为含时间电场的作用，处于某个量子态的概率密度函数。这概率也可以用来计算谱线的量子增宽 (quantum broadening) 。

导引

让我们简略的解释，含时摄动理论的狄拉克表述，其背后的点子。先为零摄动系统选择一个能量本征态的正交基 ${|n\rangle }$ 。这些本征态与时间无关。

假若，在时间 $t=0$ ，零摄动系统处于本征态 $|j\rangle$ 。那么，随着时间流逝，这系统的量子态可以表达为（采用薛定谔绘景：量子态随着时间流逝而演化，而对应于可观察量的算符则与时间无关）

$|j(t)\rangle =e^{-iE_{j}t/\hbar }|j\rangle$ ；

其中，$E_{j}$ 是本征态 $|j\rangle$ 的能级，$\hbar$ 是约化普朗克常数。

现在，添加一个含时间的哈密顿量摄动 $V(t)$ 。包括摄动系统在内的哈密顿量 $H$ 是

$H=H_{0}+V(t)$ 。(1)

标记 $|\psi (t)\rangle$ 为含摄动系统在时间 $t$ 的量子态。它遵守含时薛定谔方程:

$H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle$ 。(2)

在任何时间，量子态可以表达为本征态的线性组合：

$|\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle$ ；(3)

其中，$c_{n}(t)$ 是复函数，称为幅度。在这里，我们显性地表示出公式右手边的相位因子 $e^{-iE_{n}t/\hbar }$ 。这只是为了便利因素。并不会因此而失去一般性。

假若系统的初始量子态是 $|j\rangle$ ，而又没有摄动作用，则幅度会有很理想的性质：随着时间的演化，

$c_{j}(t)=1$ ，

$c_{n}(t)=0,\quad n\neq j$ 。

回思公式 (3) ，幅度 $c_{n}(t)$ 的绝对平方是 $|\psi (t)\rangle$ 在时间 $t$ 处于本征态 $|n\rangle$ 的概率：

$\left|c_{n}(t)\right|^{2}=\left|\langle n|\psi (t)\rangle \right|^{2}$ 。

将公式 (1) 与 (3) 代入含时薛定谔方程 (2) ，可以得到

${\begin{aligned}\left[H_{0}+V(t)\right]\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle &=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle \right)\\&=\sum _{n}\left(i\hbar {\frac {\partial c_{n}(t)}{\partial t}}+c_{n}(t)E_{n}\right)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle \\\end{aligned}}$。

由于 $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ ，这公式左手边的 $H_{0}$ 项目于右手边的 $E_{n}$ 项目相抵销。所以，

$\sum _{n}\left(i\hbar {\frac {\partial c_{n}(t)}{\partial t}}\right)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)V(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle$ 。

将 $\langle m|$ 内积于这公式两边，可以得到一组联立的偏微分方程：

${\frac {\partial c_{m}}{\partial t}}={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{n}\langle m|V(t)|n\rangle \,c_{n}(t)\,e^{-i(E_{n}-E_{m})t/\hbar }$ 。

矩阵元素 $\langle m|V(t)|n\rangle$ 的角色，影响到量子态的幅度改变的速率 ${\frac {\partial c_{m}}{\partial t}}$ 。可是，注意到这迁移内中含有一个相位因子。经过一段超久于 $\hbar /(E_{n}-E_{m})$ 的间隔时间，相位会转绕很多圈次。

一直到此，我们尚未尝试取近似值。所以，这一组偏微分方程仍旧是精确的。通过给予初始值 $c_{n}(0)$ ，原则上，我们可以找到（非摄动的）精确解。对于双态系统，只有两个能级 ($n=1,\,2$) 的量子系统，可以很容易的找到答案。而且，很多量子系统，像氨分子，氢分子离子 (Hydrogen molecular ion) ，苯分子等等，都可以用双态系统模型来分析。但是对于更多能级的系统，找到精确解是非常困难的。我们只好寻找摄动解。我们可以用积分式来表达幅度：

$c_{n}(t)=c_{n}(0)+{\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}(t')\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }$ 。

重复的将 $c_{n}(t)$ 的表达式代入这公式的右手边，可以得到一个迭代解：

$c_{n}(t)=c_{n}^{(0)}+c_{n}^{(1)}+c_{n}^{(2)}+\cdots$ ；

其中，举例而言，一阶项目是

$c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}(0)\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }$ 。

应用含时摄动理论，可以得到更多进一步的结果，像费米黄金律 (Fermi's golden rule) 或戴森级数 (Dyson series) 。费米黄金律计算，因为含时摄动，从某个能量本征态发射至另外一个能量本征态的跃迁率。通过应用上述迭代法于时间演化算符，可以得到戴森级数。这是费曼图方法的起点之一。

参阅

• 双态系统
• 吸收
• 自发射 (spontaneous emission)
• 受激发射 (stimulated emission)
• 拉比问题 (Rabi problem)

外部链接

• 圣地牙哥加州大学物理系量子力学视听教学：含时摄动理论