合并方差

合并方差（pooled variance）在统计学中是指当多个总体均值不同时估算总体方差的方法。其假设每个总体都有着相同的方差。在此假设之下，合并样本方差相比单个的样本方差能更精确地估算总体方差。合并方差的平方根则称为合并标准差（pooled standard deviation）。

以$i=1,\ldots ,k$表示不同总体，可以通过加权平均计算合并方差$s_{p}^{2}$：

$s_{p}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)s_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)}}={\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}+\cdots +(n_{k}-1)s_{k}^{2}}{n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{k}-k}}$,

其中$n_{i}$表示总体$i$的样本大小，而每个总体的样本方差分别为

$s_{i}^{2}$ = ${\frac {1}{n_{i}-1}}\sum _{j=1}^{n_{i}}\left(y_{j}-{\overline {y_{j}}}\right)^{2}$.

以上的加权因子采用$(n_{i}-1)$而非$n_{i}$是因为使用了贝塞尔校正系数。

除以上定义之外，有时还会使用

$s_{p}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)s_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{k}n_{i}}}$

计算合并方差。

参考文献

• Killeen PR. An alternative to null-hypothesis significance tests. Psychol Sci. May 2005, 16 (5): 345–53. PMC 1473027 . PMID 15869691. doi:10.1111/j.0956-7976.2005.01538.x.