右连左极函数

在数学中，右连左极函数（càdlàg，RCLL）是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要，这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间（Skorokhod space）。

定义

令 $(M,d)$ 为度量空间，并令 $E\subseteq \mathbb {R}$ 。函数 $f:E\to M$ 称为右连左极函数。若对于每一 $t\in E$ ，都有

左极限 $f(t-):=\lim _{s\uparrow t}f(s)$ 存在；且
右极限 $f(t+):=\lim _{s\downarrow t}f(s)$ 存在并等于 $f(t)$ ，

即 $f$ 是右连续的且有左极限。

例子

全部连续函数都是右连左极函数。
由累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。

斯科罗霍德空间

从 $E$ 到 $M$ 的所有右连左极函数的集合常记为 $D(E;M)$ 或简记为 $D$ ，称为斯科罗霍德空间，是以乌克兰数学家阿纳托利·斯科罗霍德（Anatoliy Skorokhod）的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个拓扑结构，这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”（而传统的一致收敛拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”）。为了简化说明，取 $E=[0,T]$ ， $M=\mathbb {R} ^{n}$ （Billingsley的书中描述了更一般的拓扑）

首先我们必须定义连续性模的一个模拟 $\varpi '_{f}(\delta )$ 。对于任意 $F\subseteq E$ ，使

w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|

且对于 $\delta >0$ ，将右连左极函数模（càdlàg modulus）定义为

\varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),

其中最大下界对所有划分 $\Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\}$ ， $k\in \mathbb {N}$ 都存在，且 $\max _{i}(t_{i}-t_{i-1})<\delta$ 。这一定义对于非右连左极函数 $f$ 是有意义的（就如通常的连续性模对于不连续函数是有意义的）且可以说明 $f$ 是右连左极函数当且仅当 $\delta \to 0$ 时 $\varpi '_{f}(\delta )\to 0$ 。