右連左極函數

在數學中，右連左極函數（càdlàg，RCLL）是指定義在實數集或其子集上的處處右連續且有左極限的函數。這類函數在研究有跳躍甚至是需要跳躍的隨機過程時很重要，這類隨機過程不像布朗運動具有連續的樣本軌道。給定定義域上的右連左極函數的集合稱為斯科羅霍德空間（Skorokhod space）。

定義

令 $(M,d)$ 為度量空間，並令 $E\subseteq \mathbb {R}$ 。函數 $f:E\to M$ 稱為右連左極函數。若對於每一 $t\in E$ ，都有

左極限 $f(t-):=\lim _{s\uparrow t}f(s)$ 存在；且
右極限 $f(t+):=\lim _{s\downarrow t}f(s)$ 存在並等於 $f(t)$ ，

即 $f$ 是右連續的且有左極限。

例子

全部連續函數都是右連左極函數。
由累積分佈函數的定義知所有的累積分佈函數都是右連左極函數。

斯科羅霍德空間

從 $E$ 到 $M$ 的所有右連左極函數的集合常記為 $D(E;M)$ 或簡記為 $D$ ，稱為斯科羅霍德空間，是以烏克蘭數學家阿納托利·斯科羅霍德（Anatoliy Skorokhod）的名字命名。斯科羅霍德空間可以被指派一個拓撲結構，這一拓撲直覺上能使我們「稍微蠕動空間和時間」（而傳統的一致收斂拓撲僅允許我們「稍微蠕動空間」）。為了簡化說明，取 $E=[0,T]$ ， $M=\mathbb {R} ^{n}$ （Billingsley的書中描述了更一般的拓撲）

首先我們必須定義連續性模的一個模擬 $\varpi '_{f}(\delta )$ 。對於任意 $F\subseteq E$ ，使

w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|

且對於 $\delta >0$ ，將右連左極函數模（càdlàg modulus）定義為

\varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),

其中最大下界對所有劃分 $\Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\}$ ， $k\in \mathbb {N}$ 都存在，且 $\max _{i}(t_{i}-t_{i-1})<\delta$ 。這一定義對於非右連左極函數 $f$ 是有意義的（就如通常的連續性模對於不連續函數是有意義的）且可以說明 $f$ 是右連左極函數當且僅當 $\delta \to 0$ 時 $\varpi '_{f}(\delta )\to 0$ 。