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单位根

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复平面上的三次单位根

数学上,次单位根1复数。它们位于复平面单位圆上,构成正多边形顶点,但最多只可有两个顶点同时标在实数线上。

定义

这方程的复数根 次单位根

单位的 次根有 个:

本原根

单位的 次根以乘法构成循环群。它的生成元是 本原单位根。次本原单位根是,其中互质次本原单位根数目为欧拉函数。 全体i次单位根对普通乘法作成群,即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群,且这是一个无限交换群,这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。

例子

一次单位根有一个:

二次单位根有两个: ,只有是本原根。

三次单位根

其中虚数单位;除外都是本原根。

四次单位根是

其中是本原根。

和式

不小于时,次单位根总和为。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数

第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点,而从对称性知这多边形重心原点

还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理,由分圆方程的项系数为零得出。