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單位根

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複平面上的三次單位根

數學上,次單位根1複數。它們位於複平面單位圓上,構成正多邊形頂點,但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。

定義

這方程的複數根 次單位根

單位的 次根有 個:

本原根

單位的 次根以乘法構成循環群。它的生成元是 本原單位根。次本原單位根是,其中互質次本原單位根數目為歐拉函數。 全體i次單位根對普通乘法作成群,即i次單位根群。所有全體i次單位根群在普通乘法下也可作成群,且這是一個無限交換群,這個無限交換群里的每個元素的階都有限。

例子

一次單位根有一個:

二次單位根有兩個: ,只有是本原根。

三次單位根

其中虛數單位;除外都是本原根。

四次單位根是

其中是本原根。

和式

不小於時,次單位根總和為。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點,而從對稱性知這多邊形重心原點

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理,由分圓方程的項係數為零得出。