三侧锥六角柱

三侧锥六角柱

类别	约翰逊多面体 J56 - J57 - J58
对偶多面体	交错截四阶角双六角锥
识别
鲍尔斯缩写	tauhip
性质
面	17
边	30
顶点	15
欧拉特征数	F=17, E=30, V=15 （χ=2）
组成与布局
面的种类	12正三角形 3 正方形 2 六边形
顶点的种类	3(34) 12(32.4.6)
对称性
对称群	D3h
特性
凸
图像
（展开图）

在几何学中，三侧锥六角柱是一种十七面体，可以视为在六角柱的3个侧面上叠上四角锥所构成的立体。三侧锥六角柱在维持所有面都是正多边形面的条件下，是在约翰逊多面体中，所有凸侧锥柱体中，底面边数最多、侧锥数最多的立体，其最大的内角约为174.7度，非常接近平角，但非平角，因此三侧锥六角柱是一种约翰逊多面体，约翰逊多面体是凸多面体，面皆由正多边形组成但不属于均匀多面体，共有92种。这些立体最早在1966年由诺曼·约翰逊（Norman Johnson）命名并给予描述。 诺曼·约翰逊在发现这些立体时，给予三侧锥六角柱编号J₅₇。

性质

三侧锥六角柱共由17个面、30条边和15个顶点组成，在其17个面中，有12个正三角形面、3个正方形面和2个正六边形面。其对称群为三倍的柱体形式的二面体群对称性D_3h群。

体积与表面积

棱长为a的三侧锥六角柱的表面积（A）和体积（V）为：

$A=(3+6{\sqrt {3}})a^{2}$

$V={\frac {{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}{2}}a^{3}$

顶点座标

对于一个边长为2且几何中心位于原点的三侧锥六角柱，其顶点座标为：

$\left(\pm 1,\,\pm {\sqrt {3}},\,\pm 1\right),$

$\left(\pm 2,\,0,\,\pm 1\right),$

$\left(\pm {\frac {3+{\sqrt {6}}}{2}},\,{\frac {3+{\sqrt {6}}}{2{\sqrt {3}}}},\,0\right),$

$\left(0,\,-{\frac {3+{\sqrt {6}}}{\sqrt {3}}},\,0\right).$

二面角

三侧锥六角柱有四种二面角，分别为三角形与正方形的二面角，位于侧锥侧面与六角柱侧面的交角、还有三角形与六边形的二面角，位于侧锥侧面与六角柱底面的交角、还有三角形与三角形的二面角，位于侧锥侧面与侧锥侧面的交角、以及正方形和六边形的二面角，位于六角柱侧面与六角柱底面的交角。其中以三角形与正方形的二面角为最大，约174.7度，非常接近平角。与其他几种侧锥六角柱不同，三侧锥六角柱没有六角柱侧面与六角柱侧面的交角，因为三侧锥六角柱的侧锥的位置皆相隔了一个侧面，因此六角柱侧面的相邻面只剩下六角柱的底面和侧锥的侧面。

其中，正方形和六边形的二面角（六角柱侧面与六角柱底面的交角）为直角。

$\angle$正方形$,$六边形$\,=90^{\circ }$

三角形与正方形的二面角（侧锥侧面与六角柱侧面的交角）约为174.7356度：

$\angle$三角形$,$正方形$\,=\arccos \left(-{\frac {1+{\sqrt {6}}}{\sqrt {12}}}\right)\approx 3.04971172\approx 174.73561029^{\circ }$

三角形与六边形的二面角（侧锥侧面与六角柱底面的交角）约为144.7356度：

$\angle$三角形$,$六边形$\,=\arccos \left(-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\approx 2.52611294\approx 144.73561004^{\circ }$

三角形与三角形的二面角（侧锥侧面与侧锥侧面的交角）约为109.47度：

$\angle$三角形$,$三角形$\,=\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 1.91063324\approx 109.47122085^{\circ }$

变体

三侧锥六角柱共有三种型态，一种是三个侧锥都不彼此相邻；另一种是三个侧锥彼此相邻；还有一种是两个侧锥彼此相邻，另一个侧锥与前者不彼此相邻。仅有第一种属于约翰逊多面体。第三种有两种手性镜像。目前学术界仅称第一种为三侧锥六角柱，后两种名称尚未有共识，即未有被广泛接受的名称。一般都通称为三侧锥六角柱。然而术语“三侧锥六角柱”通常只第一种三个侧锥都不彼此相邻的立体，即属于约翰逊多面体的那一种。

相关多面体

若从三侧锥六角柱移除一个侧锥会形成间二侧锥六角柱；若从三侧锥六角柱移除二个侧锥会形成侧锥六角柱。

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  三侧锥六角柱
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  移除三侧锥六角柱的一个侧锥会形成间二侧锥六角柱
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  移除三侧锥六角柱的二个侧锥会形成侧锥六角柱

三角广底球状丸塔的结构与在底面上叠上正三角台塔，并调整台塔高至侧面共面的三侧锥六角柱相同，换句话说，三角广底球状丸塔的局部多边形排列方式与三侧锥六角柱相同，但角度不同。另一种三角广底球状丸塔的构建方式是将三侧锥六角柱其中三个侧锥上侧的三角形替换为正五边形，适当地调整各个面的角度后，在剩余位置补上三角形来构成三角广底球状丸塔。

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  三侧锥六角柱
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  在三侧锥六角柱在底面上叠上正三角台塔，又称为三侧锥三角台塔柱
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  在三侧锥六角柱底面叠三角台塔，并调整台塔高至侧面共面
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  由三侧锥六角柱底面叠三角台塔组合成的变形三角广底球状丸塔
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  移除三角广底球状丸塔上等同于三角台塔的结构会形成一个变形的三侧锥六角柱
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  三角广底球状丸塔

参见

• 六角柱

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 约翰逊多面体. MathWorld. 
  • 埃里克·韦斯坦因. 三側錐六角柱. MathWorld.