Tor函子

在交換代數中，Tor 函子是張量積的導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍系數定理而定義。

定義

設 $R$ 為環。令 $R-\mathbf {Mod}$ 為左 $R$-模範疇、 $\mathbf {Mod} -R$ 為右 $R$-模範疇（若 $R$ 為交換環，則兩者等價）。固定一對象 $B\in R-\mathbf {Mod}$，考慮函子

$T_{B}(-):=-\otimes _{R}B$

這是從 $\mathbf {Mod} -R$ 至阿貝爾群範疇 $\mathbf {Ab}$ 的右正合函子（若 $R$ 為交換環，則它是映至 $R-\mathbf {Mod}$ 的右正合函子），因此能考慮其左導函子 $L_{\bullet }T_{B}$，記為 $\mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)$。

換言之，對任一左 $R$-模 $A$ 取射影分解

$\cdots \rightarrow P_{3}\rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow A\rightarrow 0$

去掉尾項 $A$，並對 $B$ 取張量積，得到鏈複形

$\cdots \rightarrow P_{3}\otimes B\rightarrow P_{2}\otimes B\rightarrow P_{1}\otimes B\rightarrow 0$

並取其同調群，則得到 $\mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)$

此外，Tor 函子也能以 $A\otimes _{R}-$ 的左導函子定義，兩種定義給出自然同構的函子。

性質

• Tor 函子與直和交換：

$\mathrm {Tor} _{n}^{R}(\bigoplus _{i}A_{i},\bigoplus _{j}B_{j})\simeq \bigoplus _{i}\bigoplus _{j}\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A_{i},B_{j})$

• 對任何 $n\geq 1$，$\mathrm {Tor} _{n}^{R}$ 是從 $(\mathbf {Mod} -R)\times (R-\mathbf {Mod} )$ 到 $\mathbf {Ab}$ 的加法函子。若 $R$ 是交換環，則它是從 $(R-\mathbf {Mod} )\times (R-\mathbf {Mod} )$ 到 $R-\mathbf {Mod}$ 的加法函子。
• 依據導函子性質，每個短正合序列 $0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0$ 導出長正合序列：

$\cdots \rightarrow \mathrm {Tor} _{n+1}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(K,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(L,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n-1}^{R}(K,B)\rightarrow \cdots$

對第二個變數亦同。

• 若 $R$ 為交換環，$r\in R$ 非零因子，則

$\mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}$

這是 Tor 函子的詞源。

• 由於阿貝爾群皆有長度不超過二的自由分解（因為自由阿貝爾群的子群皆為自由的），此時對所有 $n\geq 2$，有 $\mathrm {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} }(-,-)=0$。

譜序列

設 $A,B$ 為交換環，$M$ 為 $B$-模，並固定一個環同態 $A\to B$。我們有雙函子的自然同構：

$(-\otimes _{A}B)\otimes _{B}M=-\otimes _{A}M$

由此導出格羅滕迪克譜序列：對任何 $A$-模 $N$，有譜序列

$E_{pq}^{2}=\mathrm {Tor} _{p}^{B}(\mathrm {Tor} _{q}^{A}(N,B),M)\Rightarrow \mathrm {Tor} _{p+q}^{A}(N,M)$

與平坦模的關係

更多資訊：平坦模

一個右 $R$-模是平坦模的充要條件是 $\mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,-)=0$。此時可推出 $\forall n\geq 1,\;\mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,-)=0$。左 $R$-模的情況準此可知。事實上，計算 Tor 函子時可以用平坦分解代替射影分解；凡射影分解必為平坦分解，反之則不然；平坦分解在技術上較富彈性。

文獻

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1