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P進賦值

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數論上,一個整數np進賦值指的是能除盡n質數p的最高次方,一般記做。一個等價的定義是,n的質因數分解中p的次方數。

p進賦值是一個賦值,且其賦值可作為常規絕對值的類比。就如常規絕對值有理數實數中的完備化一般,p絕對值有理數P進數.[1]

自然數在2進賦值中的分佈,並加上十進位中的2的次方做標籤;0的賦值為無限。

定義與性質

以下假定p質數

整數

整數np進賦值定義如下:

其中自然數的集合,而代表可被整除。特別地,的定義域及值域如次:.[2]

像例如說,, ,而 since

這符號有時用以表示[3]

是一個正整數,那麼有

而這可由直接推得。

有理數

p進賦值可以下述函數的形式延伸到有理數上:

[4][5]

其定義如下:

像例如說,,而這是因為之故。

有理數上的賦值其中一些性質如下:

此外,若,那麼

其中是最小值(也就是兩者中較小者)。

p進絕對值

有理數p絕對值定義如下:

而其定義為

因此對所有的而言,;而一個p進絕對值的例子如次: and

p進絕對值滿足下列性質:

非負性
正定性
積性
非阿基米德性

積性可知,對於單位根而言,,因此這表示說;而次可加性可由非阿基米德三角不等式得出。

這個的基底p的選取不會影響其性質;然而有以下的性質:

其中此乘積遍歷所有的質數p及常規絕對值,而此處常規絕對值記做

這項可由質因數分解得出:質因數的冪會成為相對應的p進絕對值的倒數;而將之乘以常規絕對值後,這些倒數項會被消去。

一些人可能會將p進絕對值給稱為「p進範數」;[來源請求]然而因其不滿足齊次性之故,因此並非真正的範數

一個度量空間可用如下(非阿基米德平移對稱英語Translational symmetry的)度量由生成:

其定義為

以此度量對有理數所做的完備化p進數的集合

參見

參考資料

  1. ^ 中的完備化Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. Wiley. 2003: 758–759. ISBN 0-471-43334-9. 
  2. ^ Ireland, K.; Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York: Springer-Verlag. 2000: 3. 
  3. ^ Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. An Introduction to the Theory of Numbers 5th. John Wiley & Sons. 1991: 4. ISBN 0-471-62546-9. 
  4. ^ 再延伸的數線上,這帶有一般的序關係,也就是說
    ,
    及算術關係
  5. ^ Khrennikov, A.; Nilsson, M. p-adic Deterministic and Random Dynamics. Kluwer Academic Publishers. 2004: 9.