P進賦值

在數論上，一個整數n的p進賦值指的是能除盡n的質數p的最高次方，一般記做$\nu _{p}(n)$。一個等價的定義是，$\nu _{p}(n)$是n的質因數分解中p的次方數。

p進賦值是一個賦值，且其賦值可作為常規絕對值的類比。就如常規絕對值是有理數在實數$\mathbb {R}$中的完備化一般，p進絕對值是有理數在P進數$\mathbb {Q} _{p}$.

自然數在2進賦值中的分布，並加上十進位中的2的次方做標籤；0的賦值為無限。

定義與性質

以下假定p為質數。

整數

整數n的p進賦值定義如下：

$\nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}$

其中$\mathbb {N}$是自然數的集合，而$m\mid n$代表$n$可被$m$整除。特別地，$\nu _{p}$的定義域及值域如次：$\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{\infty \}$.

像例如說，$\nu _{2}(-12)=2$, $\nu _{3}(-12)=1$，而$\nu _{5}(-12)=0$ since $|{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}$。

$p^{k}\parallel n$這符號有時用以表示$k=\nu _{p}(n)$。

若$n$是一個正整數，那麼有

$\nu _{p}(n)\leq \log _{p}n$

而這可由$n\geq p^{\nu _{p}(n)}$直接推得。

有理數

p進賦值可以下述函數的形式延伸到有理數上：

$\nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$

其定義如下：

$\nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s)$

像例如說，$\nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3$且$\nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2$，而這是因為${\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}$之故。

有理數上的賦值其中一些性質如下：

$\nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)$

$\nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

此外，若$\nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)$，那麼

$\nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

其中$\min$是最小值（也就是兩者中較小者）。

p進絕對值

有理數集$\mathbb {Q}$的p進絕對值定義如下：

$|\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

而其定義為

$|r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.$

因此對所有的$p$而言，$|0|_{p}=p^{-\infty }=0$；而一個p進絕對值的例子如次：$|{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}$ and ${\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8$

p進絕對值滿足下列性質：

非負性	$|r|_{p}\geq 0$
正定性	$|r|_{p}=0\iff r=0$
積性	$|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$
非阿基米德性	$|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$

由積性$|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$可知，對於單位根$1$和$-1$而言，$|1|_{p}=1=|-1|_{p}$，因此這表示說$|{-r}|_{p}=|r|_{p}$；而次可加性$|r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}$可由非阿基米德三角不等式$|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$得出。

對$p^{-\nu _{p}(r)}$這個冪的基底p的選取不會影響其性質；然而有以下的性質：

$\prod _{0,p}|r|_{p}=1$

其中此乘積遍歷所有的質數p及常規絕對值，而此處常規絕對值記做$|r|_{0}$。

這項可由質因數分解得出：質因數的冪$p^{k}$會成為相對應的p進絕對值的倒數；而將之乘以常規絕對值後，這些倒數項會被消去。

一些人可能會將p進絕對值給稱為「p進範數」；然而因其不滿足齊次性之故，因此並非真正的範數。

一個度量空間可用如下（非阿基米德且平移對稱的）度量由$\mathbb {Q}$生成：

$d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

其定義為

$d(r,s)=|r-s|_{p}.$

以此度量對有理數$\mathbb {Q}$所做的完備化即p進數的集合$\mathbb {Q} _{p}$。

參見

• p進數
• 阿基米德公理
• 重複度
• 奥斯特洛夫斯基定理
• 勒讓德定理