貴金屬比例

貴金屬比例、貴金屬分割（英語：metallic ratio）定義為

${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}:1$（n為自然數）

所表示的比率。

隨$n$值的不同，又稱為第$n$貴金屬比例、第$n$貴金屬分割。特別地，第1貴金屬比例${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1$稱為黃金比例、第2貴金屬比例$1+{\sqrt {2}}:1$稱為白銀比例、第3貴金屬比例${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}:1$稱為青銅比例。

貴金屬數

貴金屬數

0	${\frac {0+{\sqrt {4}}}{2}}$	1	1
1	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	1.6180339887...
2	${\frac {2+{\sqrt {8}}}{2}}$	$1+{\sqrt {2}}$	2.4142135623...
3	${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	3.3027756377...
4	${\frac {4+{\sqrt {20}}}{2}}$	$2+{\sqrt {5}}$	4.2360679774...
5	${\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}$	${\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}$	5.1925824035...
6	${\frac {6+{\sqrt {40}}}{2}}$	$3+{\sqrt {10}}$	6.1622776601...
7	${\frac {7+{\sqrt {53}}}{2}}$	${\frac {7+{\sqrt {53}}}{2}}$	7.1400549446...
8	${\frac {8+{\sqrt {68}}}{2}}$	$4+{\sqrt {17}}$	8.1231056256...
9	${\frac {9+{\sqrt {85}}}{2}}$	${\frac {9+{\sqrt {85}}}{2}}$	9.1097722286...
n	${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

貴金屬數是

${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

即二次方程式$x^{2}-nx-1=0$的正根。

連分數

貴金屬數的連分數表示是：

$n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]$

數列的商的極限

黃金數（第1貴金屬數）是斐波那契數列相鄰兩項的比的極限，白銀數（第2貴金屬數）是佩爾數列相鄰兩項的比的極限；一般地，也存在以第$n$貴金屬數為相鄰兩項的比的極限的數列。

數列$\{M_{k}\}$的遞推關係式

$M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}$

一旦定義了此關係式，則在此之中，第$n$貴金屬數為$\mu$，有

$M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}$

成立。在這種情況下，這個序列的兩個相鄰項的商數在$K\rightarrow \infty$收斂於$\mu$。即

$\lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu$

成立。

參見

• 黃金比例
• 白銀比例
• 青銅比例