贵金属比例

贵金属比例、贵金属分割（英语：metallic ratio）定义为

${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}:1$（n为自然数）

所表示的比率。

随$n$值的不同，又称为第$n$贵金属比例、第$n$贵金属分割。特别地，第1贵金属比例${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1$称为黄金比例、第2贵金属比例$1+{\sqrt {2}}:1$称为白银比例、第3贵金属比例${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}:1$称为青铜比例。

贵金属数

贵金属数

0	${\frac {0+{\sqrt {4}}}{2}}$	1	1
1	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	1.6180339887...
2	${\frac {2+{\sqrt {8}}}{2}}$	$1+{\sqrt {2}}$	2.4142135623...
3	${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	3.3027756377...
4	${\frac {4+{\sqrt {20}}}{2}}$	$2+{\sqrt {5}}$	4.2360679774...
5	${\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}$	${\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}$	5.1925824035...
6	${\frac {6+{\sqrt {40}}}{2}}$	$3+{\sqrt {10}}$	6.1622776601...
7	${\frac {7+{\sqrt {53}}}{2}}$	${\frac {7+{\sqrt {53}}}{2}}$	7.1400549446...
8	${\frac {8+{\sqrt {68}}}{2}}$	$4+{\sqrt {17}}$	8.1231056256...
9	${\frac {9+{\sqrt {85}}}{2}}$	${\frac {9+{\sqrt {85}}}{2}}$	9.1097722286...
n	${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

贵金属数是

${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

即二次方程式$x^{2}-nx-1=0$的正根。

连分数

贵金属数的连分数表示是：

$n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]$

数列的商的极限

黄金数（第1贵金属数）是斐波那契数列相邻两项的比的极限，白银数（第2贵金属数）是佩尔数列相邻两项的比的极限；一般地，也存在以第$n$贵金属数为相邻两项的比的极限的数列。

数列$\{M_{k}\}$的递推关系式

$M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}$

一旦定义了此关系式，则在此之中，第$n$贵金属数为$\mu$，有

$M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}$

成立。在这种情况下，这个序列的两个相邻项的商数在$K\rightarrow \infty$收敛于$\mu$。即

$\lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu$

成立。

参见

• 黄金比例
• 白银比例
• 青铜比例