葛侖斯坦環

在交換代數中，一個葛侖斯坦局部環是一個內射維度有限的交換、局部諾特環。一個葛侖斯坦環（英文：Gorenstein ring）是對每個素理想的局部化皆為葛侖斯坦局部環的交換環。葛侖斯坦環是科恩-麥考利環的特例，它與凝聚對偶性定理（塞爾對偶性定理的推廣）有密切關係。

葛侖斯坦環以數學家丹尼爾·葛侖斯坦命名。

其它定義

對於局部環 $(R,{\mathfrak {m}},k)$，葛侖斯坦局部環的古典定義是：$R$ 是科恩-麥考利環，而且存在 ${\mathfrak {m}}$ 中的 $R$-正則序列，使之生成一個不可約理想。在 $R$ 為有限維諾特環時，下述性質等價：

• $R$ 的內射維度有限，記為 $n$。
• 存在 $n\in \mathbb {N}$，當 $i\neq n$ 時，$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$，而且 $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k$。
• 存在 $n\in \mathbb {N}$，當 $i>n$ 時，$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$。
• 存在 $n\in \mathbb {N}$，對某個 $i>n$ 有 $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$。
• 存在 $n\in \mathbb {N}$，當 $i<n$ 時，$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$，而且 $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k$。

此時 $R$ 是 $n$-維葛侖斯坦環。

非交換情形

若一個環（不一定交換）視為左 $R$-模及右 $R$-模的內射維度皆有限，則稱之為葛侖斯坦環。

例子

• 完全交環
• 正則局部環

文獻

• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics 8.
• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6