內射維度、投射維度與同調維度

投射維度、內射維度與同調維度（又稱整體維度）是交換代數中考慮的重要不變量。

定義

以下設 $A$ 為交換環，而 $M$ 為 $A$-模。

$M$ 的內射維度 $\mathrm {id} _{A}(M)$ 定義為其內射分解的最短長度（當 $M=(0)$ 時置 $\mathrm {id} _{A}(0)=-\infty$）。投射維度 $\mathrm {pd} _{A}(M)$ 則定義為其投射分解的最短長度。

利用同調代數的工具，可以進一步得到下述刻劃：

命題一. 設 $n\geq 0$ 為整數，下述條件等價：

• $\mathrm {id} _{A}(M)\leq n$。
• 對所有 $A$-模 $N$，有 $i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(N,M)=0$。
• 對所有理想 $I\subset A$，有 $\mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(A/I,M)=0$。
• 對所有正合序列 $0\to M\to I^{0}\to \cdots \to I^{n-1}\to Q\to 0$，若每個 $I$ 都是內射模，則 $Q$ 也是內射模。

命題二. 設 $n\geq 0$ 為整數，下述條件等價：

• $\mathrm {pd} _{A}(M)\leq n$。
• 對所有 $A$-模 $N$，有 $i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(M,N)=0$。
• 對所有正合序列 $0\to K\to P_{n-1}\to \cdots \to P_{0}\to M\to 0$，若每個 $P$ 都是投射模，則 $K$ 也是投射模。

當 $A$ 為諾特環而 $M$ 為有限生成 $A$-模時，上述條件更等價於

• 對所有極大理想 ${\mathfrak {m}}\subset A$，有 $\mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(M,A/{\mathfrak {m}})=0$
• 對所有極大理想 ${\mathfrak {m}}\subset A$，有 $\mathrm {Tor} _{n+1}^{A}(M,A/{\mathfrak {m}})=0$

由此可定義環 $A$ 的同調維度 $\mathrm {hd} (A)$為：

• $\sup _{M}\;\mathrm {pd} _{A}(M)$
• $\sup _{M}\;\mathrm {id} _{A}(M)$
• 存在 $A$-模 $M,N$ 使得 $\mathrm {Ext} _{A}^{n}(M,N)\neq 0$ 的最大整數 $n$（可能是無窮大）。

性質

內射維度、投射維度與同調維度對局部化有下述關係：

$\mathrm {id} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {id} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})$

$\mathrm {pd} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {pd} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})$

其中的 ${\mathfrak {p}}$ 取遍 $A$ 的所有素理想（或極大理想），而投射維度給出 $\mathrm {Spec} A\to \mathbb {Z} \cup \{\pm \infty \}$ 的上半連續函數。事實上，僅須考慮 $M$ 的支撐集中的素理想。

由此立刻得到 $\mathrm {hd} (A)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {hd} (A)$。

此外，它們與模的深度也有密切的關係，例如：

定理 （Auslander-Buchsbaum）：設 $A$ 為局部諾特環，$M$ 為有限生成 $A$-模，而且其投射維度有限，則

$\mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)$

定理：設 $A$ 為局部諾特環，$M$ 為有限生成 $A$-模，而且其內射維度有限，則

$\mathrm {id} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)$

最後，同調維度為正則局部環給出了一個完全內在的刻劃：

定理（Serre）：一個局部諾特環 $A$ 是正則局部環的充要條件是 $\mathrm {hd} (A)<+\infty$，此時 $\mathrm {hd} (A)=\dim A$。

文獻

• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6