緊化

關於物理學中的「緊化」概念，請見「緊化 (物理學)」。

數學中，緊化（compactification）是將一個拓撲空間擴大為緊的過程或結果。緊化的方法有多種，但每一種方法都是以某種方式添加「無窮遠點」控制「跑向無窮遠」的點或阻止這樣的「逃逸」。

一個例子

考慮帶有通常拓撲的實數線。這個空間不是緊的；在某種意義上說，點向左或向右可以跑向無窮遠。可以通過添加一個「無窮遠點」，我們記作 ∞，將其變為一個緊空間。所得的緊化可以想像為一個圓周（作為歐幾里得平面的有界閉子集它是緊的）。實線上每個跑向無窮的序列在緊化中將收斂到 ∞。

直覺上，這個過程可視為：首先將實數線收縮為 x-軸上的開區間 (-π,π)；然後將這個區間的兩端向上（y-軸正方向）彎曲，並移動使它們靠近，直到得到一個去掉一點（最上點）的圓周。這個點是我們的新點 ∞ 無窮遠點，將它添進來成為一個完整的緊圓周。

稍微正式一點：我們將單位圓周上的點以角度表示，在弧度下，取從 -π 到 π。將每個這樣的點 θ 與實數線上對應的 tan(θ/2) 等同。這個函數在點 π/2 沒有定義，因為 tan(π/2) 沒有定義；將這個點等同於我們的 ∞。

因為正切函數於其反函數都是連續的，我們的等同函數是實數線與去掉 ∞ 的單位圓周間的同胚。我們所構造的c稱為實數線的亞歷山德羅夫單點緊化，更一般的討論見下。也可以增添兩個點 +∞ 和 -∞ 將實數線緊化，得到擴展的實數軸。

定義

拓撲空間 X 作為稠密子集嵌入一個緊空間稱為 X 的一個緊化。將拓撲空間嵌入緊空間中經常有用，因為緊空間有一些特殊性質。

嵌入緊豪斯多夫空間可能特別讓人感興趣。因為每個緊豪斯多夫空間是一個吉洪諾夫空間，而吉洪諾夫空間的每個子空間是吉洪諾夫的，我們得出每個有豪斯多夫緊化的空間必須是吉洪諾夫空間。事實上，其逆亦真；吉洪諾夫空間是存在豪斯多夫緊化的充分必要條件。

很多有趣的非緊空間確實有特別類型的緊化，這個事實使緊化成為拓撲學中的常用技巧。

亞歷山德羅夫單點緊化

主條目：單點緊化

對一個拓撲空間 X，它的（亞歷山德羅夫）單點緊化 αX 是通過添加額外一點 ∞（通常叫做無窮遠點）得到的，定義新空間的開集是 X 中的開集以及具有 G U {∞} 形式的集合，這裏 G 是 X 的一個子集使得 X \ G 閉且緊。X 的單點緊化是豪斯多夫的若且唯若 X 是豪斯多夫的且局部緊。

斯通–切赫緊化

主條目：斯通－切赫緊化

特別使人感興趣的是豪斯多夫緊化，即緊化中緊空間是豪斯多夫的。一個拓撲空間有豪斯多夫緊化若且唯若它是吉洪諾夫的。在這種情形，存在惟一（差一個同胚）「最一般的」豪斯多夫緊化，X 的斯通－切赫緊化，記作 βX。空間 βX 由泛性質刻畫，任何從 X 到一個緊豪斯多夫空間 K 的連續函數可以惟一地延拓為從 βX 到 Y 的連續函數。更確切地說， βX 是一個包含 X 的緊豪斯多夫空間使得 X 上由 βX 誘導的拓撲與 X 上本來的拓撲相同，且對任何連續映射 f:X → K，這裏 K 是一個緊豪斯多夫空間，存在惟一連續映射 g:βX → K 使得 g 限制在 X 上等同於 f。

斯通–切赫緊化可具體地構造如下：設 C 是從 X 到閉區間 [0,1] 的連續函數集合。則 X 中每一點可與 C 上一個取值函數等同。這樣 X 可與 [0,1]^C 的一個子集等價，這裏 [0,1]^C 是從 C 到 [0,1] 的所有函數集合。由吉洪諾夫定理後者是緊的，X 的閉包作為那個空間的子集也是緊的。這就是斯通–切赫緊化。

射影空間

實射影空間 RPⁿ 是歐幾里得空間 Rⁿ 的一個緊化。對 Rⁿ 中可能「逃逸」的每個「方向」，添加了一個無窮原點（但每個方向與其反方向等同）。我們上面構造的 R 的亞歷山德羅夫單點緊化事實上同胚於 RP¹。但是注意射影平面 RP² 不是平面 R² 的單點緊化，因為添加了不止一點。

復射影空間 CPⁿ 也是 Cⁿ 的一個緊化；平面 C 的亞歷山德羅夫單點緊化是（同胚於）復射影直線 CP¹，它可等價於黎曼球面。

轉向射影空間是代數幾何中的一個基本工具，因為添加了無窮遠點後許多定理有更簡單的表述。例如，RP² 中任何兩條不同直線恰好交於一點，而在 R² 中不成立。

李群的緊化與離散子群

在李群的離散子群的研究中，陪集的商空間通常為更精細緊化之候選，在更豐富的層次上保持結構而不止是拓撲。

例如模曲線是在每個尖點添加一點，使其成為黎曼曲面（而且因為它們是緊的，故為代數曲線）。這裏尖點有一個好理由：曲線參數化了一個格空間，這些格可以退化（跑向無窮遠），通常有許多方式（考慮到一些「層次」的輔助結構）。尖點代表了這些指向無窮的不同方向。

這是平面中的格。在 n-維歐幾里得空間中也可提出同樣的問題，例如關於 GL_n(R)/GL_n(Z)。這是較難緊化的。現在可以利用一個一般的定理，博雷爾–塞爾緊化（Borel-Serre compactification）。

其它緊化理論

• 一個空間的端點與素端理論。
• 許多「邊界」理論，比如開流形的配領（collaring of an open manifold）、馬丁邊界（Martin boundary），施羅夫邊界（Shilov boundary）以及菲斯滕貝格邊界（Fürstenberg boundary）。
• 拓撲群的波爾緊化由考慮殆周期函數得出。
• 通過構造一個有反演環幾何（inversive ring geometry）的「射影直線」可緊化一個拓撲群。
• 一個埃爾米特對稱空間的貝利-博雷爾緊化（Baily-Borel compactification）。