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相等

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數學的領域中,若兩個數學物件在各個方面都相同,則稱他們是相等的。這就定義了一個二元謂詞等於,寫作「」;當且僅當相等。通常意義上,等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來,就構成了等式,例如,即是相等的。

注意,有些時候「」並不表示等式。例如,表示在數量級上漸進。因為這裏的符號「」不滿足當且僅當的定義,所以它不等於等於符號;實際上,是沒有意義的。請參見大O符號了解這部分內容。

等價二元關係的表格
等價二元關係的表格

集合上的等於關係是種二元關係,滿足自反性對稱性反對稱性遞移性。 實際上,這是 上唯一滿足所有這些性質的關係。 去掉對反對稱性的要求,就是等價關係。 相應的,給定任意等價關係,可以構造商集,並且這個等價關係將『下降為』上的等於。

在任何條件下都成立的等式稱為恆等式,包含未知數的等式稱為方程式

邏輯形式

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。 萊布尼茨的想法是,兩樣物體是同一的,當且僅當它們有完全相同的性質。 形式化這一說法,可以寫成

任意當且僅當對任意謂詞當且僅當

然而,在一階邏輯中,不能對謂詞進行量化。因此,需要使用下述公理

對任意,若等於,則當且僅當

這條公理對任意單變量的謂詞都有效,但只定義了萊布尼茨律的一個方向:若相等,則它們具有相同的性質。 可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向:

對任意等於

則若具有相同的性質,則特定的它們關於謂詞是相同的。這裏謂詞為:當且僅當。 由於成立,必定也成立(相同的性質),所以(' '的變量為).

等於的一些基本性質

替代性

對任意量和任意表達式,若,則(設等式兩邊都有意義)。 在一階邏輯中,不能量化像這樣的表達式(它可能是個函數謂詞)。 一些例子:

  • 對任意實數,若,則(這裏
  • 對任意實數,若,則(這裏
  • 對任意實數,若,則(這裏
  • 對任意實數,若,則(這裏

自反性

對任意量

這個性質通常在數學證明中作為中間步驟。

對稱性

例子:如果,那麼

遞移性

例子:如果,那麼

實數或其他物件上的二元關係約等於」,即使進行精確定義,也不具有遞移性(即使看上去有,但許多小的能夠疊加成非常大)。然而,在絕大多數情況下,等於具有遞移性。

儘管對稱性和遞移性通常看上去是基本性質,但它們能夠通過替代性和自反性證明得到。

符號的歷史

等於」符號或 「」被用來表示一些算術運算的結果,是由羅伯特·雷科德在1557年發明的。

由於覺得書寫文字過於麻煩,雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中採用了這一符號。原因是符號中的兩條線一樣長,表明其連接的兩個量也相等。這一發明在威爾斯的St Mary教堂有記錄。

約等於的符號是不等於的符號是

參見

外部連結