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擺線

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一條由滾動的圓所生成的擺線

數學中,擺線(Cycloid)的定義為圓在一條直線上滾動時,圓邊界上一定點所形成的軌跡。它是一般旋輪線的一種,亦稱圓滾線

擺線也是最速降線問題等時降落問題的解。

歷史

擺線的研究最初開始於庫薩的尼古拉,之後馬蘭·梅森也有針對擺線的研究。1599年伽利略為擺線命名。1634年吉勒斯·德·羅貝瓦勒英語Gilles de Roberval指出擺線一拱的區域面積是滾動圓的面積的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人們指出擺線的長度是滾動圓的直徑的四倍。在這一時期,伴隨着許多發現,也出現了眾多有關發現權的爭議,甚至抹殺他人工作的現象,而因此擺線也被人們稱作「幾何學中的海倫」(The Helen of Geometers)。[1]

方程式

由半徑為2的圓所生成的擺線

過原點半徑為r的擺線參數方程為

在這裏實參數t是在弧度制下,圓滾動的角度;擺線的第一道拱由參數t在(0, 2π)區間內的點組成。對每一個給出的t,圓心的坐標為(rt, r)。

通過替換解出t可以求的笛卡爾坐標方程

也可寫成

擺線也滿足下面的微分方程

面積

一條由半徑為r的圓所生成的拱形面積可以由下面的參數方程界定:

微分,

於是可以求得

弧長

弧形的長度可以由下面的式子計算出:

其它相關聯的曲線

一些曲線同擺線緊密相關。當我們弱化定點只能固定在圓邊界上時,我們得到了短擺線(curtate cycloid)和長擺線(prolate cycloid),兩者合稱為次擺線(trochoid),前面的情形是定點在圓的內部,後者則是在圓外。次擺線則是上述三種曲線的統稱。更進一步,如果我們讓圓也沿着一個圓滾動而不是直線的話,我們會得到外擺線(epicycloid,沿着圓的外部運動,定點在圓的邊緣),內擺線(hypocycloid,沿着圓內部滾動,定點在圓的邊緣)以及外旋輪線(epitrochoid)和內旋輪線(hypotrochoid,定點可以在圓內的任一點包括邊界。)

應用

Cycloidal arches at the Kimbell Art Museum

在建築物的設計方面,擺線曾被路易·卡恩用來設計德克薩斯州沃思堡的建築金貝爾藝術博物館英語Kimbell Art Museum。 它也曾被用於設計新罕布什爾州漢諾威的霍普金斯中心。

參考

  1. ^ 卡喬里, 弗洛里安. 数学史. 紐約: 切爾西. 1999: 177. ISBN 978-0821821022. 
  • Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 445–47. ISBN 0-14-011813-6. 

外部連結