擺線

一條由滾動的圓所生成的擺線

在數學中，擺線（Cycloid）的定義為圓在一條直線上滾動時，圓邊界上一定點所形成的軌跡。它是一般旋輪線的一種，亦稱圓滾線。

擺線也是最速降線問題和等時降落問題的解。

歷史

擺線的研究最初開始於庫薩的尼古拉，之後馬蘭·梅森也有針對擺線的研究。1599年伽利略為擺線命名。1634年吉勒斯·德·羅貝瓦勒指出擺線一拱的區域面積是滾動圓的面積的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人們指出擺線的長度是滾動圓的直徑的四倍。在這一時期，伴隨着許多發現，也出現了眾多有關發現權的爭議，甚至抹殺他人工作的現象，而因此擺線也被人們稱作「幾何學中的海倫」（The Helen of Geometers）。

方程式

由半徑為2的圓所生成的擺線

過原點半徑為r的擺線參數方程為

$x=r(t-\sin t)\,$

$y=r(1-\cos t)\,$

在這裏實參數t是在弧度制下，圓滾動的角度；擺線的第一道拱由參數t在(0, 2π)區間內的點組成。對每一個給出的t，圓心的坐標為(rt, r)。

通過替換解出t可以求的笛卡爾坐標方程為

$x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}}$

也可寫成

$\cos \!\left({\frac {|x|+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+{\frac {y}{r}}=1$

擺線也滿足下面的微分方程。

$\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}.$

面積

一條由半徑為r的圓所生成的拱形面積可以由下面的參數方程界定：

$x=r(t-\sin t),\,$

$y=r(1-\cos t),\,$

$0\leq t\leq 2\pi .\,$

微分，

${\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t),$

於是可以求得

${\begin{aligned}A&=\int _{x=0}^{x=2\pi r}y\,dx=\int _{t=0}^{t=2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}\,dt\\&=\left.r^{2}\left({\frac {3}{2}}t-2\sin t+{\frac {1}{2}}\cos t\sin t\right)\right|_{t=0}^{t=2\pi }\\&=3\pi r^{2}.\end{aligned}}$

弧長

弧形的長度可以由下面的式子計算出：

${\begin{aligned}S&=\int _{t=0}^{t=2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }2r\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\,dt\\&=8r.\end{aligned}}$

其它相關聯的曲線

一些曲線同擺線緊密相關。當我們弱化定點只能固定在圓邊界上時，我們得到了短擺線（curtate cycloid）和長擺線（prolate cycloid），兩者合稱為次擺線（trochoid），前面的情形是定點在圓的內部，後者則是在圓外。次擺線則是上述三種曲線的統稱。更進一步，如果我們讓圓也沿着一個圓滾動而不是直線的話，我們會得到外擺線（epicycloid，沿着圓的外部運動，定點在圓的邊緣），內擺線（hypocycloid，沿着圓內部滾動，定點在圓的邊緣）以及外旋輪線（epitrochoid）和內旋輪線（hypotrochoid，定點可以在圓內的任一點包括邊界。）

應用

Cycloidal arches at the Kimbell Art Museum

在建築物的設計方面，擺線曾被路易·卡恩用來設計德克薩斯州沃思堡的建築金貝爾藝術博物館。 它也曾被用於設計新罕布什爾州漢諾威的霍普金斯中心。

參考

• An application from physics: Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

• Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 445–47. ISBN 0-14-011813-6. 

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Cycloid. MathWorld. 
• Cycloids （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at cut-the-knot
• A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
• Cicloides y trocoides
• Cycloid Curves （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project.