微分疊

微分疊'是代數幾何中的代數疊在微分幾何中的類似物，可描述為微分流形上的疊，也可描述為森田等價下的李群胚。

微分疊很適合處理有奇點的空間（如軌形、葉空間、商），它們自然出現在微分幾何中，且不是可微流形。例如，微分疊在葉狀結構、泊松流形和扭K理論中都有應用。

定義

定義1（由廣群纖維化）

回想在廣群中纖維化的範疇（或稱廣群纖維化），包含範疇${\mathcal {C}}$、到微分流形範疇的函子$\pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd}$，並滿足

1. ${\mathcal {C}}$是纖維範疇，即對任意對象$u\in {\mathcal {C}}$和任意箭頭$V\to U\ \in \mathrm {Mfd}$，都有箭頭$v\to u$，在$V\to U$上；
2. 對$\mathrm {Mfd}$中的任意交換三角$W\to V\to U$及$W\to U$上的任意箭頭$w\to u$、$V\to U$上的$v\to u$，在$W\to V$上存在唯一的箭，使三角$w\to v\to u$交換。

這些性質確保$\forall U\in \mathrm {Mfd}$，都可以定義其纖維$\pi ^{-1}(U)$或${\mathcal {C}}_{U}$，作為${\mathcal {C}}$的子範疇，由${\mathcal {C}}$在U上的所有對象和在$id_{U}$上的所有態射組成。根據這構造，$\pi ^{-1}(U)$是廣群。疊是滿足膠合性質的廣群纖維，用下降表述。

任何流形X都定義了其切片範疇 $F_{X}=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Mdf} }(-,X)$，對象是流形U與光滑映射$f:U\to X$組成的對子$(U,f)$；則$F_{X}\to \mathrm {Mdf} ,(U,f)\mapsto U$是廣群纖維，實際上也是疊。廣群纖維的態射${\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$若滿足以下條件，則稱作可表浸沒：

• 對流形U和任意態射$F_{U}\to {\mathcal {D}}$，纖維積${\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}$可表，即（對某個流形Y，）與作為廣群纖維的$F_{V}$同構；
• 誘導光滑映射$V\to U$是浸沒。

對流形X，微分疊是疊$\pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd}$與特殊的可表浸沒$F_{X}\to {\mathcal {C}}$（上述每個浸沒$V\to U$都需要是滿射）。映射$F_{X}\to {\mathcal {C}}$稱作疊X的圖集、呈現或覆疊。

定義2（由2-函子）

回想範疇${\mathcal {C}}$上（廣群的）預疊（也稱作2-預層），是2-函子 $X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$，其中$\mathrm {Grp}$是（集合論）廣群的2-範疇、及其間的態射和自然變換。疊是滿足膠合性質的預疊（類似層滿足的膠合性質）。要精確說明這性質，需要定義景上的（預）疊，即配備了格羅滕迪克拓撲的範疇。

所有對象$M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$定義了疊${\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)$，與另一對象$N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$關聯，形成態射$N\to M$的廣群$\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)$。現有疊$X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$，若有對象$M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$與疊的態射${\underline {M}}\to X$（常稱作疊X的圖集、呈現或覆疊）滿足以下性質，則稱其幾何的：

• 態射${\underline {M}}\to X$可表，即$\forall Y\in {\mathcal {C}}$和任何態射$Y\to X$，纖維積${\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}$同構於作為疊的${\underline {Z}}$（對某對象Z）；
• 誘導態射$Z\to Y$滿足取決於範疇${\mathcal {C}}$的範疇（如對流形，是要滿足浸沒。

微分疊是${\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd}$（微分流形範疇，視作具有通常開覆疊拓撲的景）上的疊，即2-函子$X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$，其也滿足幾何性，即承認上面定義的圖集${\underline {M}}\to X$。

注意，將$\mathrm {Mfd}$換成仿射概形範疇，就恢復到標準代數疊概念。相似地，把$\mathrm {Mfd}$換成拓撲空間範疇，就得到拓撲疊定義。

定義3（由森田等價）

回想李群胚，包含兩微分流形G、M、兩滿射浸沒$s,t:G\to M$、偏乘法映射$m:G\times _{M}G\to G$、單位映射$u:M\to G$、逆映射$i:G\to G$，滿足類似群的相容性。

兩個李群胚$G\rightrightarrows M$、$H\rightrightarrows N$間若有主雙叢P，即有主右H叢$P\to M$、主左G叢$P\to N$，使得對P的兩作用交換，則稱G、H森田等價。森田等價是李群胚間的等價，比同構弱，但足以保留許多幾何性質。

微分疊記作$[M/G]$，是某李群胚$G\rightrightarrows M$的森田等價類。

定義1、2的等價性

任何纖維範疇${\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf}$都定義了2-層$X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)$。反過來，任何預疊$X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$給出了範疇${\mathcal {C}}$，其對象是流形U與對象$x\in X(U)$的對子$(U,x)$，態射是映射$\phi :(U,x)\to (V,y)$，使$X(\phi )(y)=x$。這樣的${\mathcal {C}}$配備函子${\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U$後，成為纖維範疇。

定義1、2中疊的膠合性質等價，同樣，定義1中的圖集誘導了定義2中的圖集，反之亦然。

定義2、3的等價性

李群胚$G\rightrightarrows M$給出了微分疊$BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$，將任何流形N發送到N上的G-旋子的範疇（即G-主叢）。$G\rightrightarrows M$的森田類中，任何其他李群胚都誘導了一個同構疊。

反過來，任何微分疊$X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$都是$BG$形式，即可由李群胚表示。更精確地說，若${\underline {M}}\to X$是疊X的圖集，則可定義李群胚$G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M$，並檢查$BG_{X}$是否同構於X。

Dorette Pronk提出的一個定理指出，定義1的微分疊與李群胚之間的雙範疇具有森田等價性。

示例

• 任何流形M定義了微分疊${\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Hom} }(-,M)$，由恆等映射${\underline {M}}\to {\underline {M}}$平凡地表示。疊${\underline {M}}$對應單位廣群$u(M)\rightrightarrows M$的森田等價類。
• 李群G定義了微分疊$BG$，將任意流形N發送到N上的G-主叢的範疇，由平凡疊態射${\underline {pt}}\to BG$表示，將一點發送到G的分類空間上的通用G-叢。疊$BG$對應$G\rightrightarrows \{*\}$的森田等價類，視作點上的李群胚（即任意具有迷向群G的傳遞李群胚的森田等價類）。
• 流形M上的葉狀結構${\mathcal {F}}$由其葉空間定義了微分疊，對應完整廣群$\mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M$的森田等價類。
• 軌形都是微分疊，因為其是具有離散迷向的緊合李群胚（緊合李群胚的迷向是緊的，所以有限）的森田等價類。

商微分疊

給定M上的李群作用$a:M\times G\to M$，其商（微分）疊是代數幾何中商（代數）疊的可微部分。其定義為與流形X、主G-叢範疇$P\to X$和G-等價映射$\phi :P\to M$相聯繫的疊$[M/G]$，是由疊態射${\underline {M}}\to [M/G]$表示的微分疊，在任意流形X上的定義如下：

$${\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to [M/G](X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})$$

其中$\phi _{f}:X\times G\to M$是G-等價映射$\phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g$。

疊$[M/G]$對應作用廣群$M\times G\rightrightarrows M$的森田等價類。於是，可得到下列特殊情形：

• 若M是點，則微分疊$[M/G]$與$BG$重合
• 若作用是半正則緊合作用（於是商$M/G$是流形），則微分疊$[M/G]$與${\underline {M/G}}$重合
• 若作用是緊合作用（於是商$M/G$是軌形），則微分疊$[M/G]$與軌形定義的疊重合

微分空間

微分空間（differentiable space）是具有平凡穩定子的微分疊。例如，若李群半正則作用（不必緊合）於流形，則對其的商一般不是流形，而是微分空間。

配備格羅滕迪克拓撲

微分疊X可以某種方式配備格羅滕迪克拓撲，這給出了X上的層概念。例如，X上微分p形式的層$\Omega _{X}^{p}$可由流形U上$\forall x\in X$給出，使$\Omega _{X}^{p}(x)$為U上p形式的空間。層$\Omega _{X}^{0}$稱作X上的結構層，表示為${\mathcal {O}}_{X}$。$\Omega _{X}^{*}$帶有外微分，因此是X上向量空間的復層：於是有了X的德拉姆上同調的概念。

束

現有微分疊間的滿態射$G\to X$，若$G\to G\times _{X}G$也是滿態射，則前者稱作X上的束。例如，若X是疊，則$BS^{1}\times X\to X$是束。Giraud提出的一條定理稱，$H^{2}(X,S^{1})$一一對應於局部同構於$BS^{1}\times X\to X$的X上的束集，束有其帶（band）的平凡化。

外部連結

• http://ncatlab.org/nlab/show/differentiable+stack （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）