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微分疊

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微分疊'代數幾何中的代數疊微分幾何中的類似物,可描述為微分流形上的,也可描述為森田等價下的李群胚[1]

微分疊很適合處理有奇點的空間(如軌形、葉空間、商),它們自然出現在微分幾何中,且不是可微流形。例如,微分疊在葉狀結構[2]泊松流形[3]扭K理論中都有應用。[4]

定義

定義1(由廣群纖維化)

回想在廣群中纖維化的範疇(或稱廣群纖維化),包含範疇、到微分流形範疇的函子,並滿足

  1. 纖維範疇,即對任意對象和任意箭頭,都有箭頭,在上;
  2. 中的任意交換三角上的任意箭頭上的,在上存在唯一的箭,使三角交換。

這些性質確保,都可以定義其纖維,作為子範疇,由U上的所有對象和在上的所有態射組成。根據這構造,廣群是滿足膠合性質的廣群纖維,用下降表述。

任何流形X都定義了其切片範疇英語Overcategory ,對象是流形U與光滑映射組成的對子;則是廣群纖維,實際上也是疊。廣群纖維的態射若滿足以下條件,則稱作可表浸沒

  • 對流形U和任意態射纖維積可表,即(對某個流形Y,)與作為廣群纖維的同構;
  • 誘導光滑映射浸沒

對流形X微分疊是疊與特殊的可表浸沒(上述每個浸沒都需要是滿射)。映射稱作疊X的圖集、呈現或覆疊。[5][6]

定義2(由2-函子)

回想範疇上(廣群的)預疊(也稱作2-預層),是2-函子 ,其中是(集合論)廣群2-範疇、及其間的態射和自然變換。是滿足膠合性質的預疊(類似層滿足的膠合性質)。要精確說明這性質,需要定義上的(預)疊,即配備了格羅滕迪克拓撲的範疇。

所有對象定義了疊,與另一對象關聯,形成態射的廣群。現有疊,若有對象與疊的態射(常稱作疊X的圖集、呈現或覆疊)滿足以下性質,則稱其幾何的

  • 態射可表,即和任何態射纖維積同構於作為疊的(對某對象Z);
  • 誘導態射滿足取決於範疇的範疇(如對流形,是要滿足浸沒

微分疊(微分流形範疇,視作具有通常開覆疊拓撲的景)上的疊,即2-函子,其也滿足幾何性,即承認上面定義的圖集[7][8]

注意,將換成仿射概形範疇,就恢復到標準代數疊概念。相似地,把換成拓撲空間範疇,就得到拓撲疊定義。

定義3(由森田等價)

回想李群胚,包含兩微分流形GM、兩滿射浸沒、偏乘法映射、單位映射、逆映射,滿足類似群的相容性。

兩個李群胚間若有主雙叢P,即有主右H、主左G,使得對P的兩作用交換,則稱GH森田等價。森田等價是李群胚間的等價,比同構弱,但足以保留許多幾何性質。

微分疊記作,是某李群胚的森田等價類。[5][9]

定義1、2的等價性

任何纖維範疇都定義了2-層。反過來,任何預疊給出了範疇,其對象是流形U與對象的對子,態射是映射,使。這樣的配備函子後,成為纖維範疇。

定義1、2中疊的膠合性質等價,同樣,定義1中的圖集誘導了定義2中的圖集,反之亦然。[5]

定義2、3的等價性

李群胚給出了微分疊,將任何流形N發送到N上的G-旋子的範疇(即G-主叢)。的森田類中,任何其他李群胚都誘導了一個同構疊。

反過來,任何微分疊都是形式,即可由李群胚表示。更精確地說,若是疊X的圖集,則可定義李群胚,並檢查是否同構於X

Dorette Pronk提出的一個定理指出,定義1的微分疊與李群胚之間的雙範疇具有森田等價性。[10]

示例

  • 任何流形M定義了微分疊,由恆等映射平凡地表示。疊對應單位廣群的森田等價類。
  • 李群G定義了微分疊,將任意流形N發送到N上的G-主叢的範疇,由平凡疊態射表示,將一點發送到G分類空間上的通用G-叢。疊對應的森田等價類,視作點上的李群胚(即任意具有迷向群G的傳遞李群胚的森田等價類)。
  • 流形M上的葉狀結構由其葉空間定義了微分疊,對應完整廣群的森田等價類。
  • 軌形都是微分疊,因為其是具有離散迷向的緊合李群胚(緊合李群胚的迷向是的,所以有限)的森田等價類。

商微分疊

給定M上的李群作用,其商(微分)疊是代數幾何中商(代數)疊的可微部分。其定義為與流形X、主G-叢範疇G-等價映射相聯繫的疊,是由疊態射表示的微分疊,在任意流形X上的定義如下:

其中G-等價映射[7]

對應作用廣群的森田等價類。於是,可得到下列特殊情形:

  • M是點,則微分疊重合
  • 若作用是半正則緊合作用(於是商是流形),則微分疊重合
  • 若作用是緊合作用(於是商是軌形),則微分疊與軌形定義的疊重合

微分空間

微分空間(differentiable space)是具有平凡穩定子的微分疊。例如,若李群半正則作用(不必緊合)於流形,則對其的商一般不是流形,而是微分空間。

配備格羅滕迪克拓撲

微分疊X可以某種方式配備格羅滕迪克拓撲,這給出了X上的概念。例如,X上微分p形式的層可由流形U給出,使Up形式的空間。層稱作X上的結構層,表示為帶有外微分,因此是X向量空間的復:於是有了X德拉姆上同調的概念。

現有微分疊間的滿態射,若也是滿態射,則前者稱作X上的。例如,若X是疊,則是束。Giraud提出的一條定理稱,一一對應於局部同構於X上的束集,束有其帶(band)的平凡化。[11]

參考文獻

  1. ^ Blohmann, Christian. Stacky Lie Groups. International Mathematics Research Notices. 2008-01-01, 2008 [2023-12-15]. ISSN 1687-0247. arXiv:math/0702399可免費查閱. doi:10.1093/imrn/rnn082. (原始內容存檔於2022-12-08) (英語). 
  2. ^ Moerdijk, Ieke. Foliations, groupoids and Grothendieck étendues. Rev. Acad. Cienc. Zaragoza. 1993, 48 (2): 5–33. MR 1268130. 
  3. ^ Blohmann, Christian; Weinstein, Alan. Group-like objects in Poisson geometry and algebra. Poisson Geometry in Mathematics and Physics. Contemporary Mathematics 450. American Mathematical Society. 2008: 25–39. ISBN 978-0-8218-4423-6. S2CID 16778766. arXiv:math/0701499可免費查閱. doi:10.1090/conm/450 (英語). 
  4. ^ Tu, Jean-Louis; Xu, Ping; Laurent-Gengoux, Camille. Twisted K-theory of differentiable stacks. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 2004-11-01, 37 (6): 841–910 [2023-12-15]. ISSN 0012-9593. S2CID 119606908. arXiv:math/0306138可免費查閱. doi:10.1016/j.ansens.2004.10.002. (原始內容存檔於2023-10-12) –透過Numérisation de documents anciens mathématiques.​(法語 (英語). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Behrend, Kai; Xu, Ping. Differentiable stacks and gerbes. Journal of Symplectic Geometry. 2011, 9 (3): 285–341 [2023-12-15]. ISSN 1540-2347. S2CID 17281854. arXiv:math/0605694可免費查閱. doi:10.4310/JSG.2011.v9.n3.a2. (原始內容存檔於2023-10-11) (英語). 
  6. ^ Grégory Ginot, Introduction to Differentiable Stacks (and gerbes, moduli spaces …)頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), 2013
  7. ^ 7.0 7.1 Jochen Heinloth: Some notes on differentiable stacks頁面存檔備份,存於互聯網檔案館, Mathematisches Institut Seminars, Universität Göttingen, 2004-05, p. 1-32.
  8. ^ Eugene Lerman, Anton Malkin, Differential characters as stacks and prequantization, 2008
  9. ^ Ping Xu, Differentiable Stacks, Gerbes, and Twisted K-Theory頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), 2017
  10. ^ Pronk, Dorette A. Etendues and stacks as bicategories of fractions. Compositio Mathematica. 1996, 102 (3): 243–303 [2023-12-15]. (原始內容存檔於2023-10-11) –透過Numérisation de documents anciens mathématiques.​(法語. 
  11. ^ Giraud, Jean. Cohomologie non abélienne. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 1971, 179. ISBN 978-3-540-05307-1. ISSN 0072-7830. doi:10.1007/978-3-662-62103-5 (英國英語). 

外部連結