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平均曲率

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微分幾何中,一個曲面 平均曲率mean curvature,是一個「外在的」彎曲測量標準,局部地描述了一個曲面嵌入周圍空間(比如二維曲面嵌入三維歐幾里得空間)的曲率。

這個概念由索菲·熱爾曼在她的著作《彈性理論》中最先引入[1][2]

定義

是曲面 上一點,考慮 上過 的所有曲線 。每條這樣的 點有一個伴隨的曲率 。在這些曲率 中,至少有一個極大值 極小值 ,這兩個曲率 稱為 主曲率

平均曲率是兩個主曲率的平均值(斯皮瓦克 1999,第3卷,第2章),由歐拉公式其實也是所有曲率的平均值[3],故有此名。

利用第一基本形式第二基本形式的係數,平均曲率表示為:

這裏 是第一基本形式的係數, 為第二基本形式的係數。

平均曲率可推廣為更一般情形 (斯皮瓦克 1999,第4卷,第7章),一個超曲面 的平均曲率為:

更抽象地說,平均曲率是第二基本形式(或等價地,形算子)的

另外,平均曲率 可以用共變導數 寫成

這裏利用了高斯-Weingarten 關係, 是一族光滑嵌入超曲面, 為單位法向量,而 度量張量

一個曲面是極小曲面若且唯若平均曲率為零。此外,平面 平均曲率滿足一個熱型方程稱為平均曲率流方程。

有些作者會將平均曲率直接定為第二基本形式的跡(而並未)。然而,這並不影響一個曲面是否成為一個極小曲面的條件。

3 維空間中曲面

對 3 維空間中的曲面,平均曲率與曲面的單位法向量相關:

這裏法向量的選取影響曲率的正負號。曲率的符號取決於法向量的方向:如果曲面「遠離」法向量則曲率是正的。上面的公式對 3 維空間中任何方式定義的曲面都成立,只要能夠計算單位法向量的散度

對曲面是兩個坐標的函數定義的曲面,比如 ,使用向下的法向量平均曲率(的兩倍)表示為

如果曲面還是軸對稱的,滿足 ,則

流體力學

流體力學中使用的另外一種定義是不要因子 2:

這出現於楊-拉普拉斯公式中,平衡球狀小滴內部的壓力等於表面張力乘以 ;兩個曲率等於小滴半徑的倒數

極小曲面

Costa 極小曲面示意圖

一個極小曲面是所有點的平均曲率為零的曲面。經典例子有懸鏈曲面螺旋面Scherk 曲面Enneper 曲面。新近發現的包括Costa極小曲面英語Costa's minimal surface(1982年)與Gyroid英語Gyroid(1970年)。

極小曲面的一個推廣是考慮平均曲率為非零常數的曲面,球面和圓柱面就是這樣的例子。Heinz Hopf的一個問題為是否存在曲率為非零常數的非球面閉曲面。球面是惟一具有常平均曲率且沒有邊界或奇點的曲面;如果允許自交,則存在平均曲率為非零常數的閉曲面,Wente在1986年曾構造出這樣的自交環面(陳維桓 2006,4.6節)。

參見

註釋

  1. ^ Dubreil-Jacotin on Sophie Germain. [2008-11-16]. (原始內容存檔於2008-02-23). 
  2. ^ Curvature in the Calculus Curriculum
  3. ^ 關於角度的平均值。

參考文獻