平均曲率

在微分幾何中，一個曲面 $S$ 的平均曲率（mean curvature）$H$，是一個「外在的」彎曲測量標準，局部地描述了一個曲面嵌入周圍空間（比如二維曲面嵌入三維歐幾里得空間）的曲率。

這個概念由索菲·熱爾曼在她的著作《彈性理論》中最先引入。

定義

令 $p$ 是曲面 $S$ 上一點，考慮 $S$ 上過 $p$ 的所有曲線 $C_{i}$。每條這樣的 $C_{i}$ 在 $p$ 點有一個伴隨的曲率 $K_{i}$。在這些曲率 $K_{i}$ 中，至少有一個極大值 $\kappa _{1}$ 與極小值 $\kappa _{2}$，這兩個曲率 $\kappa _{1},\kappa _{2}$ 稱為 $S$ 的主曲率。

$p\in S$ 的平均曲率是兩個主曲率的平均值(斯皮瓦克 1999，第3卷，第2章)，由歐拉公式其實也是所有曲率的平均值，故有此名。

$H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .$

利用第一基本形式與第二基本形式的係數，平均曲率表示為：

$H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}\ ,$

這裏 $E,F,G$ 是第一基本形式的係數，$L,M,N$ 為第二基本形式的係數。

平均曲率可推廣為更一般情形 (斯皮瓦克 1999，第4卷，第7章)，一個超曲面 $T$ 的平均曲率為：

$H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}\ .$

更抽象地說，平均曲率是第二基本形式（或等價地，形算子）的跡 $\times {\frac {1}{n}}$。

另外，平均曲率 $H$ 可以用共變導數 $\nabla$ 寫成

$H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X\ ,$

這裏利用了高斯-Weingarten 關係，$X(x,t)$ 是一族光滑嵌入超曲面，${\vec {n}}$ 為單位法向量，而 $g_{ij}$ 是度量張量。

一個曲面是極小曲面若且唯若平均曲率為零。此外，平面 $S$ 平均曲率滿足一個熱型方程稱為平均曲率流方程。

有些作者會將平均曲率直接定為第二基本形式的跡（而並未$\times {\frac {1}{n}}$）。然而，這並不影響一個曲面是否成為一個極小曲面的條件。

3 維空間中曲面

對 3 維空間中的曲面，平均曲率與曲面的單位法向量相關：

$2H=\nabla \cdot {\hat {n}}\ ,$

這裏法向量的選取影響曲率的正負號。曲率的符號取決於法向量的方向：如果曲面「遠離」法向量則曲率是正的。上面的公式對 3 維空間中任何方式定義的曲面都成立，只要能夠計算單位法向量的散度。

對曲面是兩個坐標的函數定義的曲面，比如 $z=S(x,y)$，使用向下的法向量平均曲率（的兩倍）表示為

${\begin{aligned}2H&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla (S-z)}{|\nabla (S-z)|}}\right]\\&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla S}{\sqrt {1+(\nabla S)^{2}}}}\right]\\&={\frac {\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}$

如果曲面還是軸對稱的，滿足 $z=S(r)$，則

$2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\frac {\partial S}{\partial r}}{r\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\$

流體力學

在流體力學中使用的另外一種定義是不要因子 2：

$H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .$

這出現於楊-拉普拉斯公式中，平衡球狀小滴內部的壓力等於表面張力乘以 $H_{f}$；兩個曲率等於小滴半徑的倒數 $\kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}$。

極小曲面

Costa 極小曲面示意圖

主條目：極小曲面

一個極小曲面是所有點的平均曲率為零的曲面。經典例子有懸鏈曲面、螺旋面、Scherk 曲面與Enneper 曲面。新近發現的包括Costa極小曲面（1982年）與Gyroid（1970年）。

極小曲面的一個推廣是考慮平均曲率為非零常數的曲面，球面和圓柱面就是這樣的例子。Heinz Hopf的一個問題為是否存在曲率為非零常數的非球面閉曲面。球面是惟一具有常平均曲率且沒有邊界或奇點的曲面；如果允許自交，則存在平均曲率為非零常數的閉曲面，Wente在1986年曾構造出這樣的自交環面(陳維桓 2006，4.6節)。

參見

• 高斯曲率
• 平均曲率流
• 逆平均曲率流
• 面積公式第一變分

參考文獻

• 斯皮瓦克, 米高, A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) 3rd, Publish or Perish Press, 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4) .
• 陳維桓, 微分几何, 北京大學出版社, 2006, ISBN 7-307-10709-9