對偶系統

數學中，域$\mathbb {K}$上的對偶系統或對偶對是指三元組$(X,Y,b)$，包含$\mathbb {K}$上的2個向量空間X、Y，以及非退化雙線性映射$b:X\times Y\to \mathbb {K}$。

對偶理論是對對偶系統的研究，在泛函分析中佔有重要地位，並通過希爾伯特空間廣泛應用於量子力學中。

定義、記號與慣例

配對

域$\mathbb {K}$上的配對（pairing或pair）是一個三元組$(X,Y,b)$，也可以用$b(X,Y)$表示， 包含$\mathbb {K}$上的兩個向量空間X、Y及雙線性映射$b:X\times Y\to \mathbb {K}$，稱作與配對關聯的雙線性映射，或配對的映射，或其雙線性形式。簡單起見，本文只涉及$\mathbb {K}$是實數$\mathbb {R}$或複數$\mathbb {C}$的例子。

$\forall x\subseteq X$，定義 $${\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}$$ $\forall y\subseteq Y$，定義 $${\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}$$ $\forall b(x,\,\cdot \,)$是Y上的線性泛函，$\forall b(\,\cdot \,,y)$是X上的線性泛函。令 $$b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}$$ 其中每個集合構成一個線性泛函的向量空間。

通常記$\langle x,y\rangle$而非$b(x,y)$，這樣配對不必寫成$(X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$，而可以寫成$\left\langle X,Y\right\rangle$。不過，本文將用$\langle \cdot ,\cdot \rangle$表示求值映射（定義見下），以避免混淆。

對偶對

若雙線性形式b是非退化的，則稱配對$(X,Y,b)$是$\mathbb {K}$上的對偶系統或對偶對 ，滿足下面兩條分離公理：

1. Y分離（區分）X的點：若$x\in X$使得$b(x,\,\cdot \,)=0$，則$x=0$；等價地，對所有非零的$x\in X$，映射$b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K}$不等同於$0$（即$\exists y\in Y$使得$\forall x\in X,\ b(x,y)\neq 0$）；
2. X分離（區分）Y的點：若$y\in Y$使得$b(\,\cdot \,,y)=0$，則$y=0$；等價地，對所有非零的$y\in Y$，映射$b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K}$不等同於$0$（即$\exists x\in X$使得$\forall y\in Y,\ b(x,y)\neq 0$）。

這樣b是非退化的，可以說b將X、Y置於（分離）對偶中（places in (separated) duality），b是三元組$(X,Y,b)$的對偶配對（duality pairing）。

全子集

若$\forall x\in X$, $$b(x,s)=0\quad \forall s\in S$$能推出$x=0$，則稱$S\in Y$為全集。 X的全子集定義相似（見腳註）。因此，若且唯若X是X的全子集，X分離Y中所有點，對Y亦然。

正交性

若$b(x,y)=0$，稱向量x、y正交，記作$x\perp y$。若$b(R,S)=\{0\}$，稱兩子集$R\subseteq X$、$S\subseteq Y$正交，記作$R\perp S$；即$\forall r\in R$、$s\in S$，$b(r,s)=0$。子集正交於向量的定義與之類似。

子集$R\subseteq X$的正交補或零化子是 $$R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}$$. 於是，若且唯若$R^{\perp }=\{0\}$，R是X的全子集。

極集

主條目：極集

給定在$\mathbb {K}$上定義了對偶對的三元組$(X,Y,b)$，子集$A\subseteq X$的絕對極集或極集是集合$$A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.$$對稱地，子集$B\subseteq Y$的絕對極集或極集記作$B^{\circ }$，定義為 $$B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.$$

為了使用有助於跟蹤對偶性兩側不對稱的標記，子集$B\subseteq B$的絕對極也可以稱為B的絕對預極（absolute prepolar）或預極（prepolar），可表為${}^{\circ }B$。

極$B^{\circ }$必然是凸集，包含$0\in Y$，若B平衡，則$B^{\circ }$也平衡；若B是X的向量子空間，則$B^{\circ }$是Y的向量子空間。

若A是X的向量子空間，則$A^{\circ }=A^{\perp }$，還等於A的實極。若$A\subseteq X$，則A的雙極（bipolar，記作$A^{\circ \circ }$）是A正交補的極，即集${}^{\circ }\left(A^{\perp }\right)$。相似地，若$B\subseteq Y$，則B的雙極是$B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }$。

對偶的定義與結果

給定對$(X,Y,b)$，定義新對$(Y,X,d)$，其中$\forall x\in X,\ \forall y\in Y,\ d(y,x):=b(x,y)$。 對偶理論有個一貫的主題：任何對$(X,Y,b)$都有相應的對偶對$(Y,X,d)$。

約定與定義：給定配對$(X,Y,b)$的任何定義，將其應用於配對$(Y,X,d)$，就能得到對偶定義。這約定也適用於定理。

例如，若X分離Y的點（或者說S是Y的全子集）定義如上，則此約定立即產生了對偶定義：Y分離X的點（或者說S是X的全子集）。 下面的寫法幾乎無處不在，可讓我們不用為d指定符號。

約定與記號：若配對$(X,Y,b)$的定義及其記號取決於X和Y的順序（例如，X上的麥奇拓撲$\tau (X,Y,b)$），那麼交換X、Y順序就意味着定義適用於$(Y,X,d)$（接上例，拓撲$\tau (Y,X,b)$實際上是拓撲$\tau (Y,X,d)$）。

再比如，一旦定義了X上的弱拓撲$\sigma (X,Y,b)$，則此對偶定義就會自動應用到配對$(Y,X,d)$，從而得到Y上弱拓撲的定義——$\sigma (Y,X,b)$而非$\sigma (Y,X,d)$。

$(X,Y)$及$(Y,X)$的識別

雖然從技術上將這是不正確的，也是對符號的濫用，但本文將遵守幾乎普遍的管理，及將配對$(X,Y,b)$與$(Y,X,d)$互換處理，並用$(Y,X,b)$表示$(Y,X,d)$。

例子

配對的限制

設$(X,Y,b)$是配對，M是X的向量子空間，N是Y的向量子空間。則，$(X,Y,b)$對$M\times N$的限制就是配對$\left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)$。若$(X,Y,b)$是對偶，則限制就有可能不對偶（如，若$Y\neq \{0\}$、$N=\{0\}$）。

本文將使用通常做法，用$(M,N,b)$表示限制$\left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)$。

向量空間上的規範對偶

設X是向量空間，令$X^{\#}$表示X的代數對偶空間（即，X上所有線性泛函的空間）。則有規範對偶$\left(X,X^{\#},c\right)$，其中$c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)$，稱之為$X\times X^{\#}$上的求值映射或自然/規範雙線性泛函。

注意$\forall x^{\prime }\in X^{\#}$，$c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)$只是表示$x^{\prime }$的另一種方式，即$c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.$

若N是$X^{\#}$的一個向量子空間，則$\left(X,X^{\#},c\right)$對$X\times N$的限制稱作規範配對。若此配對是對偶，則稱為規範對偶。顯然X總是分離N的點，因此若且唯若N分離X中的點，規範配對是對偶系統。 下列記號現在在對偶理論中幾乎無處不在。

求值映射記作$\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)$（而非c），將$(X,N,c)$改為$\langle X,N\rangle$。

假設：按慣例，若X是向量空間，N是X上線性泛函的向量空間，則除非另有說明，否則將假定它們同規範配對$\langle X,N\rangle$相關聯。

若N是$X^{\#}$的向量子空間，則若且唯若N分離X的點（或等價地，N是全的，$\forall n\in N,\ n(x)=0$能推出$x=0$），X分離N的點（或等價地，$(X,N,c)$是對偶），

拓撲向量空間上的規範對偶

設X是拓撲向量空間，有連續對偶空間$X^{\prime }$。 則，規範對偶$\left(X,X^{\#},c\right)$對$X\times X^{\prime }$的限制確定了配對$\left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)$，其中X分離$X^{\prime }$的點。 若$X^{\prime }$分離X的點（例如，若X是豪斯多夫局部凸空間，則恆為真），則此配對形成了對偶。

假設：正如通常所作，只要X是拓撲向量空間，則除非另有說明，否則將假定其與規範配對$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$相關聯，無需註釋。

拓撲向量空間的極與對偶

下列結果表明，拓撲向量空間上的連續線性泛函恰是在原點鄰域上有界的線性泛函。

定理 — 令X是拓撲向量空間，有代數對偶 $X^{\#}$，並令${\mathcal {N}}$為X在原點鄰域的基。 在規範對偶$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$下，X是連續對偶空間是所有$N^{\circ }$的並，因為N的範圍是${\mathcal {N}}$（其中極位於$X^{\#}$）。

內積空間與復共軛空間

預希爾伯特空間$(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$，若且唯若H是$\mathbb {R}$上的向量空間，或H是0維，$(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$是對偶對。這裏假定半雙線性形式$\langle \cdot ,\cdot \rangle$在第二坐標上是共軛齊次的，在第一坐標上是齊次的。

1. 若$(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$是實希爾伯特空間，則$(H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$形成對偶系統。
2. 若$(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$是復希爾伯特空間，則若且唯若$\operatorname {dim} H=0$，$(H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$形成對偶系統。若H非平凡，則$(H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$甚至不是配對，因為內積是半雙線性的，而非雙線性的。

設$(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$是復預希爾伯特空間，純量乘法用並列或$\cdot$表示。 定義映射 $$\,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,$$ 其中右式使用了H的純量乘法。令${\overline {H}}$表示H的復共軛向量空間，其中${\overline {H}}$表示加群$(H,+)$（所以${\overline {H}}$中的向量加法與H中的相同），但${\overline {H}}$中的純量乘法是映射$\,\cdot \,\perp \,\cdot \,$（而非H被賦予的純量乘法）。

映射$b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C}$定義為$b(x,y):=\langle x,y\rangle$，在兩個坐標中都是線性的，因此$\left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$形成對偶對。

其他例子

1. 設$X=\mathbb {R} ^{2},\ Y=\mathbb {R} ^{3},\ \forall \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,$令$$b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.$$則$(X,Y,b)$是配對，使X區分Y的點，但Y不區分X的點。此外，$X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.$
2. 令$0<p<\infty ,\ X:=L^{p}(\mu ),\ Y:=L^{q}(\mu )$（其中q滿足${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$），$b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .$則$(X,Y,b)$是對偶系統。
3. 令X、Y是同一域$\mathbb {K}$上的向量空間，則雙線性形式$b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle$使$X\times Y$與$X^{\#}\times Y^{\#}$對偶。
4. 序列空間X及其Beta-對偶空間$Y:=X^{\beta }$，雙線性映射定義為$\forall x\in X,\ y\in X^{\beta },\ \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}$形成對偶系統。

弱拓撲

主條目：弱拓撲和弱-*拓撲

設$(X,Y,b)$是$\mathbb {K}$上一對向量空間。若$S\subseteq Y$，則X上由S（和b）誘導的弱拓撲是X上最弱的拓撲向量空間拓撲，記作$\sigma (X,S,b)$或$\sigma (X,S)$，使y在S上取值時所有映射$b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K}$連續。若S在語境中不明確，則應假定是Y的全部，這時稱之為X上（由Y誘導的）的弱拓撲。 $X_{\sigma (X,S,b)},\ X_{\sigma (X,S)},$或（若無混淆）$X_{\sigma }$用於表示賦有弱拓撲$\sigma (X,S,b)$的X。 重要的是，弱拓撲完全取決於函數b、$\mathbb {C}$上的通常拓撲與X上的向量空間結構，而與Y的代數結構無關。 同樣，若$R\subseteq X$，則Y上由R（和b）誘導的弱拓撲的對偶定義記作$\sigma (Y,R,b)$或$\sigma (Y,R)$（細節見腳註）。

定義與符號：若$\sigma (X,Y,b)$附在一個拓撲定義上（如$\sigma (X,Y,b)$-收斂、$\sigma (X,Y,b)$-有界、$\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S)$等等），則就意味着當定義的第一個空間（即X）攜帶$\sigma (X,Y,b)$拓撲。若無混淆，可以不提及b甚至X、Y。例如，若Y中序列$\left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$「$\sigma$-收斂」或「弱收斂」，這意味着它收斂於$(Y,\sigma (Y,X,b))$，而若它是X中的序列，則意味着它收斂於$(X,\sigma (X,Y,b))$）。

拓撲$\sigma (X,Y,b)$是局部凸的，因為它由$p_{y}(x):=|b(x,y)|$定義的半範數族$p_{y}:X\to \mathbb {R}$確定，其中y在Y上取值。 若$x\in X,\ \left(x_{i}\right)_{i\in I}$是X中的網，則若$\left(x_{i}\right)_{i\in I}$在$(X,\sigma (X,Y,b))$中收斂到x，$\left(x_{i}\right)_{i\in I}$$\sigma (X,Y,b)$-收斂於x。網$\left(x_{i}\right)_{i\in I}$，若且唯若$\forall y\in Y,\ b\left(x_{i},y\right)$收斂到$b(x,y)$，$\sigma (X,Y,b)$-收斂到x。

若$\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$是希爾伯特空間中的正交規範向量列，則$\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$弱收斂到0，但不會規範收斂（norm-convergence）到0（或任意向量）。

若$(X,Y,b)$是配對，N是Y的一個適當的向量子空間，使得$(X,N,b)$是對偶對，則$\sigma (X,N,b)$比$\sigma (X,Y,b)$嚴格粗。

有界子集

子集$S\subseteq X$，若且唯若$$\sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,$$，其中$|b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}$，稱S$\sigma (X,Y,b)$-有界。

豪斯多夫性

若$(X,Y,b)$是配對，則下列條件等價：

1. X分離Y的點；
2. 映射$y\mapsto b(\,\cdot \,,y)$定義了Y到X的代數對偶空間的單射；
3. $\sigma (Y,X,b)$是豪斯多夫空間。

弱表示定理

下列定理對對偶理論至關重要，因為它完全表徵了$(X,\sigma (X,Y,b))$的連續對偶空間。

弱表示定理 — 令$(X,Y,b)$是域$\mathbb {K}$上的配對，則$(X,\sigma (X,Y,b))$的連續對偶空間是$$b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.$$另外，

1. 若f是$(X,\sigma (X,Y,b))$上的連續線性泛函，則$\exists y\in Y$使$f=b(\,\cdot \,,y)$；若這樣的y存在，則若且唯若X分離Y的點時，這樣的y是唯一的。

• 注意，X是否分離Y中的點並不取決於y的特定選擇。

1. $(X,\sigma (X,Y,b))$的連續對偶空間可以視作商空間$Y/X^{\perp }$，其中$X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0\ \ \forall x\in X\}$。

• 無論X是否分離Y的點，或Y是否分離X中的點，這都是正確的。

因此，$(X,\sigma (X,Y,b))$的連續對偶空間是 $$(X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.$$

關於規範配對，若X是拓撲向量空間，其連續對偶空間$X^{\prime }$分離X的點（即使$\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)$豪斯多夫，這可推出X也必豪斯多夫），則$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$的連續對偶空間等於x在X中取值時所有「點x處得值」的映射集合（即將$x^{\prime }\in X^{\prime }$送到$x^{\prime }(x)$的映射）。 通常寫成 $$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.$$ 這一重要事實就是為什麼連續對偶空間上極拓撲的成果（如$X^{\prime }$上的強對偶拓撲$\beta \left(X^{\prime },X\right)$）能應用到原拓撲向量空間X的。例如，將X視作$\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }$意味着$\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }$上的拓撲$\beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)$可被視作X上的拓撲。 此外，若$X^{\prime }$被賦予比$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$更細的拓撲，那麼$X^{\prime }$的連續對偶空間必然包含$\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }$（作為子集）。 例如，$X^{\prime }$被賦予強對偶拓撲（於是記作$X_{\beta }^{\prime }$），則 $$\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X$$

這允許X被賦予由強對偶拓撲$\beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)$在X上誘導的子空間拓撲（此拓撲也稱作強雙對偶拓撲，見於自反空間理論：豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X，若$\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X$則稱其是半自反空間，若在此之外，其在X上的強雙對偶拓撲$\beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)$還等於X的原/初拓撲，則稱其是自反空間。

正交、商與子空間

若$(X,Y,b)$是配對，則對X的任意子集S：

1. $S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }$，且此集合是$\sigma (Y,X,b)$-閉的；
2. $S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)$；

• 因此，若S是X的$\sigma (X,Y,b)$-閉向量子空間，則$S\subseteq S^{\perp \perp }.$

1. 若$\left(S_{i}\right)_{i\in I}$是X的$\sigma (X,Y,b)$-閉向量子空間族，則

$$\left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).$$

1. 若$\left(S_{i}\right)_{i\in I}$是X的子集族，則

$\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.$

若X是賦范空間，則根據規範對偶性，$S^{\perp }$在$X^{\prime }$中對范是封閉的，$S^{\perp \perp }$在X中對范是封閉的。

子空間

設M是X的向量子空間，並令$(M,Y,b)$表示$(X,Y,b)$對$M\times Y$的限制。 M上的弱拓撲$\sigma (M,Y,b)$與M從$(X,\sigma (X,Y,b))$繼承的子空間拓撲相同。

另外，$\left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)$是配對空間（paired space）（其中$Y/M^{\perp }$是$Y/\left(M^{\perp }\right)$），其中$b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K}$定義為 $$\left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).$$

拓撲$\sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)$等於M繼承自$(X,\sigma (X,Y,b))$的子空間拓撲。 此外，若$(X,\sigma (X,Y,b))$是對偶系統，則$\left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)$也是。

商

設M是X的向量子空間，則$\left(X/M,M^{\perp },b/M\right)$是配對空間，其中$b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K}$定義為 $$(x+M,y)\mapsto b(x,y).$$

拓撲$\sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)$等同於$(X,\sigma (X,Y,b))$在$X/M$上誘導的一般的商拓撲。

極與弱拓撲

弱X是局部凸空間，且若H是連續對偶空間$X^{\prime }$的子集，則若且唯若對X中某桶B，有$H\subseteq B^{\circ }$時，H是$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$-有界的。

下列結果對定義極拓撲非常重要。 若$(X,Y,b)$是配對，$A\subseteq X,$則

1. A的極$A^{\circ }$是$(Y,\sigma (Y,X,b))$的閉子集。

1. 下列集合的極相同：(a) A；(b) A的凸殼；(c) A的平衡殼；(d) A的$\sigma (X,Y,b)$-閉合；(e) A的凸平衡殼的$\sigma (X,Y,b)$-閉合。

1. 雙極定理：A的雙極$A^{\circ \circ }$等於A的凸平衡殼的$\sigma (X,Y,b)$-閉合。

• 雙極定理「是處理對偶性時不可或缺的工具」。

1. 若且唯若$A^{\circ }$吸收於Y時，A是$\sigma (X,Y,b)$-有界的。
2. 若Y還分離X的點，則若且唯若A是$\sigma (X,Y,b)$-全有界時，A是$\sigma (X,Y,b)$-有界的。

若$(X,Y,b)$是配對，$\tau$是X上與對偶一致的局部凸拓撲，則若且唯若B是Y的某$\sigma (Y,X,b)$-有界子集的極時，$B\subseteq X$是$(X,\tau )$中的桶。

轉置

線性映射關於配對的轉置

參見：線性映射的轉置和轉置

令$(X,Y,b)$和$(W,Z,c)$是$\mathbb {K}$上的配對，並令$F:X\to W$是線性映射。

$\forall z\in Z,$令$c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K}$是由$x\mapsto c(F(x),z)$定義的映射。 若滿足以下條件，就可以說F的轉置或伴隨是良定的（well-defined）：

1. X分離Y中的點（或等價地，從Y抵達代數對偶$X^{\#}$的映射$y\mapsto b(\,\cdot \,,y)$是單射），且
2. $c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),$其中$c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\},\ b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.$

這樣，$\forall z\in Z$存在（由條件2）唯一的（由條件1）$y\in Y$，使$c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)$，其中Y的這個元素將表為${}^{t}F(z)$。這定義了線性映射 $${}^{t}F:Z\to Y$$

稱作F的轉置或關於$(X,Y,b)$和$(W,Z,c)$的伴隨（注意不要與厄米伴隨混淆）。不難看出，上述兩個條件（即「轉置良定義」）也是${}^{t}F$良定的必要條件。 $\forall z\in Z$，${}^{t}F(z)$的定義條件是 $$c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),$$ 即， $$\forall x\in X,\ c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right).$$

根據本文開頭提到的約定，這也定義了形式為$Z\to Y,$ $X\to Z,$ $W\to Y,$ $Y\to W,$等的線性映射的轉置（見腳註）。

轉置的性質

$(X,Y,b)$和$(W,Z,c)$是$\mathbb {K}$上的配對，$F:X\to W$是線性映射，其轉置${}^{t}F:Z\to Y$是良定義的。

• 若且唯若F的範圍在$\left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right)$中稠密時，${}^{t}F:Z\to Y$是單射（即$\operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}$）。
• 若除了${}^{t}F$良定義外，${}^{t}F$的轉置也良定義，則${}^{tt}F=F$。
• 設$(U,V,a)$是$\mathbb {K}$上的配對，$E:U\to X$是線性映射，其轉置${}^{t}E:Y\to V$是良定義的，則$F\circ E:U\to W$的轉置${}^{t}(F\circ E):Z\to V$也是良定義的，且${}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.$
• 若$F:X\to W$是向量空間同構，則${}^{t}F:Z\to Y$是雙射，$F^{-1}:W\to X$的轉置${}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z$是良定義的，且${}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}$
• 令$S\subseteq X$，$S^{\circ }$表示A的絕對極，則
  1. $[F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)$；
  2. 若$\forall T\subseteq W,\ F(S)\subseteq T$，則${}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }$；
  3. 若$T\subseteq W$使得${}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }$，則$F(S)\subseteq T^{\circ \circ }$；
  4. 若$T\subseteq W$，$S\subseteq X$是弱閉圓盤，則若且唯若$F(S)\subseteq T$時，${}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }$；
  5. $\operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.$

將絕對極換成實極，這些結果不變。

若X、Y是規範對偶下的賦范空間、$F:X\to Y$是連續線性映射，則$\|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|$。

弱連續性

線性映射$F:X\to W$，若$F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))$連續，則稱其（關於$(X,Y,b)$和$(W,Z,c)$）弱連續。

下面的結果表明，轉置映射的存在與弱拓撲密切相關。

命題 — 設X分離Y的點，$F:X\to W$是線性映射。 則下列條件等價：

1. F是弱連續的（即$F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))$連續）；
2. $c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)$；
3. F的轉置是良定義的。

若F是弱連續的，則

• ${}^{t}F:Z\to Y$是弱連續的，即${}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))$連續；
• 若且唯若Z分離W的點，轉置${}^{t}F$良定義，這時${}^{tt}F=F$。

弱拓撲與規範對偶

設X是向量空間，$X^{\#}$是其代數對偶。則X的所有$\sigma \left(X,X^{\#}\right)$-有界子集包含於有限維向量子空間，X的所有向量子空間是$\sigma \left(X,X^{\#}\right)$-閉的。

弱完備性

若$(X,\sigma (X,Y,b))$是完備拓撲向量空間，例如X是$\sigma (X,Y,b)$-完備或（若無歧義）弱完備的情形。 存在不弱完備的巴拿赫空間（儘管在其范拓撲中是完備的）。

若X是向量空間，則在規範對偶下，$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$是完備的。 相反，若Z是豪斯多夫局部凸拓撲向量空間，且有連續對偶空間$Z^{\prime }$，則若且唯若$Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}$時，$\left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)$是完備的；即，若且唯若將$z\in Z$發送到z處求值映射（即$z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)$）的映射$Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}$是雙射。

特別地，就規範對偶而言，若Y是$X^{\#}$的向量子空間，使Y分離X中的點，則若且唯若$Y=X^{\#}$，$(Y,\sigma (Y,X))$是完備的。 換句話說，$X^{\#}$不存在緊合向量子空間$Y\neq X^{\#}$使得$(X,\sigma (X,Y))$是豪斯多夫空間，且Y在弱-*拓撲（即逐點收斂的拓撲）中完備。 因此，若豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X的連續對偶空間$X^{\prime }$ 被賦以弱*-拓撲，若且唯若$X^{\prime }=X^{\#}$（即X上所有線性泛函都連續）時，$X_{\sigma }^{\prime }$是完備的。

Y與代數對偶的子空間的等同

若X分離Y的點、Z表示單射$y\mapsto b(\,\cdot \,,y)$的範圍，則Z是X的代數對偶空間的向量子空間，且配對$(X,Y,b)$與規範配對$\langle X,Z\rangle$（其中$\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)$是自然求值映射）是規範等同（canonically identify）的。 特別地，這時我們將不失一般性地假設Y是X代數對偶的向量子空間，而b是求值映射。

約定：通常，只要$y\mapsto b(\,\cdot \,,y)$是單射（尤其當$(X,Y,b)$形成對偶對），通常不失一般性地假設Y是X的代數對偶空間的向量子空間，且b是自然求值映射，Y還可記作$X^{\prime }$。

完全類似的是，若Y分離X中的點，則X就有可能等同於Y的代數對偶空間的向量子空間。

代數伴隨

在對偶是規範對偶$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$和$\left\langle W,W^{\#}\right\rangle$的特例下，線性映射$F:X\to W$的轉置總是良定義的。 此轉置稱作F的代數伴隨，記作$F^{\#}$； 即$F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.$ 這樣，$\forall w^{\prime }\in W^{\#},\ F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F$其中$F^{\#}\left(w^{\prime }\right)$的定義條件是 $$\left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad \forall >x\in X,$$ 或等價地$F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad \forall x\in X.$

若對整數n，$X=Y=\mathbb {K} ^{n}$，${\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}$是X的基，其對偶基${\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},\ F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}$是線性算子，F關於${\mathcal {E}}$的矩陣表示是$M:=\left(f_{i,j}\right)$，則M的轉置是$F^{\#}$關於${\mathcal {E}}^{\prime }$的矩陣表示。

弱連續性與開性

設$\left\langle X,Y\right\rangle$，$\langle W,Z\rangle$是對偶系統的規範配對（所以$Y\subseteq X^{\#},\ Z\subseteq W^{\#}$），並令$F:X\to W$是線性映射。則若且唯若$F:X\to W$滿足下列等價條件之一，F是弱連續的：

1. $F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))$連續；
2. $F^{\#}(Z)\subseteq Y$
3. F的轉置${}^{t}F:Z\to Y$相對於$\left\langle X,Y\right\rangle$和$\langle W,Z\rangle$是良定義的。

若F是弱連續的，則${}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))$是連續的，於是${}^{tt}F=F$

拓撲空間之間的映射$g:A\to B$，若$g:A\to \operatorname {Im} g$是開映射（$\operatorname {Im} g$是g的範圍），則稱之是相對開的。

設$\langle X,Y\rangle ,\ \langle W,Z\rangle$是對偶系統，$F:X\to W$是弱連續線性映射。則下列條件等價：

1. $F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))$是相對開的；
2. ${}^{t}F$的範圍在Y中$\sigma (Y,X)$-閉；
3. $\operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }$

此外

• 若且唯若${}^{t}F$是滿射（或雙射），$F:X\to W$是單射（或雙射）；
• 若且唯若${}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))$是相對開單射，$F:X\to W$是滿射。

拓撲向量空間之間映射的轉置

若且唯若F是弱連續的，兩拓撲向量空間之間映射的轉置才被定義。

設$F:X\to Y$是兩豪斯多夫局部凸拓撲向量空間之間的線性映射，則

• 若F連續，則其是弱連續的，且${}^{t}F$是麥基連續的，也是強連續的；
• 若F是弱連續的，則其是麥基連續的，也是強連續的（定義見下）。
• 若F是弱連續的，則若且唯若${}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }$將$Y^{\prime }$的等度連續子集映射到$X^{\prime }$的等度連續子集時，F才是連續的。
• 若X和Y是賦范空間，則若且唯若F是弱連續的（這時$\|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|$），F連續。
• 若F連續，則若且唯若$F:X\to Y$是弱相對開的（即$F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)$是相對開的）、且$\operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)$的等度連續子集都是$Y^{\prime }$的某等度連續子集的像時，F是相對開的。
• 若F是連續單射，則若且唯若$X^{\prime }$的等度連續子集都是$Y^{\prime }$的某等度連續子集的像，$F:X\to Y$是拓撲向量空間嵌入（或等價的拓撲嵌入）。

可度量化性與可分性

令X是局部凸空間，有連續對偶空間$X^{\prime }$，並令$K\subseteq X^{\prime }$。

1. 若K是等度連續或$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$-緊的，且$D\subseteq X^{\prime }$使得$\operatorname {span} D$在X中稠密，則K從$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)$繼承的子空間拓撲等同於K從$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$繼承的子空間拓撲。
2. 若X是可分的、K是等度連續的，則K被賦予由$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$誘導的子空間拓撲後是可度量化的。
3. 若X是可分、可度量化的，則$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$是可分的。
4. 若X是賦范空間，則若且唯若給定由$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$誘導的子空間拓撲，X的連續對偶空間的封閉單元（X的連續對偶空間）可度量時，X是可分的。
5. 若X是賦范空間，其連續對偶空間可分（給定通常的范拓撲）時，X可分。

極拓撲與同配對相容的拓撲

主條目：極拓撲

從弱拓撲開始，極基的使用會產生一系列局部凸拓撲。這樣的拓撲稱作極拓撲，弱拓撲是其中最弱的。

$(X,Y,b)$將是$\mathbb {K}$上的配對，${\mathcal {G}}$將是X的$\sigma (X,Y,b)$-有界子集的非空集合。

極拓撲

主條目：極拓撲

給定X子集的集合${\mathcal {G}}$，Y上由${\mathcal {G}}$（與b）定義的極拓撲（或Y上的${\mathcal {G}}$-拓撲）是Y上唯一的拓撲向量空間拓撲，其中 $$\left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}$$ 形成了原點鄰域的子基。 Y被賦予這${\mathcal {G}}$-拓撲時，就表示為$Y_{\mathcal {G}}$。極拓撲都需要是局部凸的。 ${\mathcal {G}}$是關於子集包含的有向集合時（即若$\forall G,K\in {\mathcal {G}}$，$\exists K\in {\mathcal {G}}$使得$G\cup H\subseteq K$），則此0處的鄰域子基實際上形成了0處的鄰域基。

下面列出了一些較重要的極拓撲。

符號：若$\Delta (X,Y,b)$表示Y上的極拓撲，則唄賦予此拓撲的Y將記作$Y_{\Delta (Y,X,b)},\ Y_{\Delta (Y,X)}$或$Y_{\Delta }$（如對$\sigma (Y,X,b)$我們有$\Delta =\sigma$，這樣$Y_{\sigma (Y,X,b)},\ Y_{\sigma (Y,X)}$和$Y_{\sigma }$都表示賦予了$\sigma (X,Y,b)$的Y）。

${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {P}}X$ （「…上一致收斂的拓撲」）	記作	名稱（「…的拓撲」）	又稱
X的有限子集 （或X有限子集的$\sigma (X,Y,b)$-閉圓盤化殼）	$\sigma (X,Y,b)$ $s(X,Y,b)$	逐點/簡單收斂	弱/弱-*拓撲
$\sigma (X,Y,b)$-緊圓盤	$\tau (X,Y,b)$		麥基拓撲
$\sigma (X,Y,b)$-緊凸子集	$\gamma (X,Y,b)$	緊凸收斂
$\sigma (X,Y,b)$-緊子集 （或平衡$\sigma (X,Y,b)$-緊子集）	$c(X,Y,b)$	緊收斂
$\sigma (X,Y,b)$-有界子集	$b(X,Y,b)$ $\beta (X,Y,b)$	有界收斂	強拓撲 最強的極拓撲

與極拓撲有關的定義

連續性 若$F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))$連續，則線性映射$F:X\to W$是（關於$(X,Y,b)$和$(W,Z,c)$）麥基連續的。

若$F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))$是連續的，則線性映射$F:X\to W$是（關於$(X,Y,b)$和$(W,Z,c)$）強連續的。

有界子集

X的子集，若在$(X,\sigma (X,Y,b))$（或$(X,\tau (X,Y,b))$、$(X,\beta (X,Y,b))$）中有界，則稱X是弱有界（或麥基有界、強有界）。

同配對相容的拓撲

弱$(X,Y,b)$是$\mathbb {K}$上的配對，${\mathcal {T}}$是X上的向量拓撲，則${\mathcal {T}}$是配對的拓撲，且若其局部凸、$\left(X,{\mathcal {T}}\right)$的連續對偶空間$=b(\,\cdot \,,Y)$，則稱之與配對$(X,Y,b)$相容或一致。 若X分離Y的點，則Y可視作X的代數對偶的向量子空間，定義條件變為$\left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.$有人（如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999]）要求配對的拓撲也要是豪斯多夫的，若Y分離X的點（這些學者假設），則必須是豪斯多夫的。

弱拓撲$\sigma (X,Y,b)$同配對$(X,Y,b)$相容（如弱表示定理所示），事實上是最弱的拓撲。還有一種與這種配對相容的最強拓撲，即麥基拓撲。 若N是非自反的賦范空間，則其連續對偶空間上通常的范拓撲同對偶$\left(N^{\prime },N\right)$不相容。

麥基–阿倫定理

主條目：麥基–阿倫定理、麥基拓撲和麥基空間

下面是對偶理論中最重要的定理之一。

麥基–阿倫定理 I — 令$(X,Y,b)$是配對，使X分離Y的點，並令${\mathcal {T}}$是X上的局部凸拓撲（不必豪斯多夫）。 則，若且唯若${\mathcal {T}}$是由某覆蓋了Y的$\sigma (Y,X,b)$-緊圓盤集合${\mathcal {G}}$確定的極拓撲時，稱${\mathcal {T}}$與配對$(X,Y,b)$相容。

由此可見，麥基拓撲$\tau (X,Y,b)$是由Y中所有$\sigma (X,Y,b)$-緊圓盤生成的極拓撲，是X上與配對 $(X,Y,b)$相容的最強局部凸拓撲。 給定拓撲與麥基拓撲相同的局部凸空間稱作麥基空間。 上述麥基-阿倫定理的一下結果也稱作麥基-阿倫定理。

麥基–阿倫定理 II — 令$(X,Y,b)$是配對，使得X分離Y的點，並且${\mathcal {T}}$是X上的局部凸拓撲。則，若且唯若$\sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b)$，${\mathcal {T}}$與配對相容。

麥基定理、桶與閉凸集

若X是（$\mathbb {R}$或$\mathbb {C}$上的）拓撲向量空間，則半空間（half-space）是形式為$\{x\in X:f(x)\leq r\}$的集合。（r是實數，f是X上的連續實值線性泛函）

定理 — 若X是（$\mathbb {R}$或$\mathbb {C}$上的）局部凸空間、C是X的非空閉凸子集，則$C$等於包含它的所有閉半空間的交。

上述定理說明，局部凸空間的閉子集和凸子集完全取決於連續對偶空間。於是，在任何與配對相容的拓撲中，閉子集和凸子集都相同；即，若${\mathcal {T}}$、${\mathcal {L}}$是X上的任意局部凸拓撲，且有同樣的連續對偶空間，則若且唯若X的凸子集在${\mathcal {L}}$拓撲中封閉，，此子集也在${\mathcal {T}}$拓撲中封閉。 這說明，X任意凸子集的${\mathcal {T}}$-閉等同於其${\mathcal {L}}$-閉，對X中任意${\mathcal {T}}$-閉圓盤A，$A=A^{\circ \circ }$。 特別地，若B是X的一個子集，則若且唯若B是$(X,{\mathcal {L}})$中的桶時，B也是$(X,{\mathcal {L}})$中的桶。

下面的定理說明，桶（即閉吸收圓盤）恰是弱有界子集的極。

定理 — 令$(X,Y,b)$是配對，使得X分離Y的點，並令${\mathcal {T}}$為配對的某拓撲。 則若且唯若X的子集等於Y的某$\sigma (Y,X,b)$-有界子集的極時，此子集是X中的桶。

若X是拓撲向量空間，則

1. X的閉吸收平衡子集B吸收X的所有凸緊子集（即存在正實數r使得$rB$包含此集）。
2. 若X是豪斯多夫局部凸的，則X中每個桶都吸收X的每個凸有界完備子集。

所有這些都引出了麥基定理，這是對偶系統理論的核心定理之一。簡言之，定理支出，對符合相同對偶性的兩豪斯多夫局部凸拓撲，有界子集是相同的。

麥基定理 — 設$(X,{\mathcal {L}})$是豪斯多夫局部凸空間，有連續對偶空間$X^{\prime }$，並考慮規範對偶$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$。 若${\mathcal {L}}$是X上任意與對偶$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$相容的拓撲，則$(X,{\mathcal {L}})$的有界子集與$(X,{\mathcal {L}})$的有界子集相同。

有限序列空間

令X表示純量$r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$的所有序列的空間，且對所有足夠大的i都有$r_{i}=0$。 令$Y=X$，定義雙線性映射$b:X\times X\to \mathbb {K}$為 $$b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.$$ 則$\sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b)$。 此外，若且唯若存在正實數序列$m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$，使得$\left|t_{i}\right|\leq m_{i},\ \forall t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T$、及所有指標i（或還有$m_{\bullet }\in X$）時，子集$T\subseteq X$是$\sigma (X,X,b)$-有界（或$\beta (X,X,b)$-有界）的。

由此可見，X的子集中有弱有界（即$\sigma (X,X,b)$-有界）的，但沒有強有界（即無$\beta (X,X,b)$-有界）的。

另見

• Beta對偶空間
• 雙正交系統
• 對偶空間
• 對偶拓撲
• 對偶 (數學)
• 內積
• L半內積
• 配對 (數學)
• 極集
• 極拓撲
• 約化對偶對
• 強對偶空間
• 線性映射空間泛函
• 弱拓撲

書目

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics Second. Boca Raton, FL: CRC Press. 2011. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
• Rudin, Walter. Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics Second. New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. Topological Vector Spaces. GTM Second. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. 1999. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Schmitt, Lothar M. An Equivariant Version of the Hahn–Banach Theorem. Houston J. Of Math. 1992, 18: 429–447 [2024-04-03]. （原始內容存檔於2022-01-24）. 
• Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. [1967]. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 

外部連結

• Duality Theory