對數凸函數

對數凸函數或超凸函數為一種定義在實數向量空间中凸集內，且其值為正數的函数f，若 ${\log }\circ f$（函數f取對數後的數值）仍為凸函數，原函數即為對數凸函數。對數函數會大幅降低函數成長的速率，因此若取對數後仍為凸函數，表示函數上昇的速度比凸函數還快，因此會稱為超凸函數。

對數凸函數f 本身是凸函數，因為這是遞增凸函數$\exp$及$\log \circ f$（依定義是凸函數）的复合函数。但凸函數和對數的复合函数不一定都是凸函數。像$g:x\mapsto x^{2}$是凸函數，但${\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|$不是凸函數，因此$g$不是對數凸函數。另一方面，$x\mapsto e^{x^{2}}$是對數凸函數因為$x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}$是凸函數。

像在正實數上的Γ函数就是對數凸函數（參見波爾-莫勒魯普定理）。

參考資料

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
• Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.

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logarithmically convex function at PlanetMath.