富比尼–施圖迪度量

在數學中，富比尼–施圖迪度量（Fubini–Study metric）是射影希爾伯特空間上一個凱勒度量。所謂射影希爾伯特空間即賦予了埃爾米特形式的復射影空間 CPⁿ。這個度量最先由圭多·富比尼與愛德華·施圖迪在1904年與1905年描述。

向量空間 Cⁿ⁺¹ 上一個埃爾米特形式定義了 GL(n+1,C) 中一個酉子群 U(n+1)。一個富比尼–施圖迪度量在差一個位似（整體縮放）的意義下由這樣一個 U(n+1) 作用下的不變性決定；從而是齊性的。賦予這樣一個富比尼–施圖迪度量後，CPⁿ 是一個對稱空間。度量的特定正規化與(2n+1)-球面上的標準度量有關。在代數幾何中，利用一個正規化使 CPⁿ 成為一個霍奇流形。

構造

富比尼–施圖迪度量自然出現於復射影空間的商空間構造。

具體地，可以定義 CPⁿ 由 Cⁿ⁺¹ 中復直線組成的空間，即 Cⁿ⁺¹ 在將一點與其所有複數倍聯繫在一起的等價關係下的商。這與在乘法群 C^* = C \ {0} 的對角群作用下的商相同：

$\mathbf {CP} ^{n}=\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\}/\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.$

這個商將 Cⁿ⁺¹ 實現為底空間 CPⁿ 上的復線叢（事實上這就是 CPⁿ 上所謂的重言叢）。CPⁿ 中的一點等同於 (n+1)-元組 [Z₀,...,Z_n] 模去非零復縮放的一個等價類；這些 Z_i 稱為這個點的齊次坐標。

進一步，我們可以分兩步實現這個商：因為乘以一個非零複數 z = R e^iθ 可以惟一地想成一個以模長 R 為因子的縮放與沿着原點一個逆時針旋轉角度 $\theta$ 的複合，商 Cⁿ⁺¹→CPⁿ 分成兩塊。

$\mathbf {C} ^{n+1}{\stackrel {(a)}{\longrightarrow }}S^{2n+1}{\stackrel {(b)}{\longrightarrow }}\mathbf {CP} ^{n}$

其中第 (a) 步以正實數乘法群 R⁺ 的縮放 Z ~ RZ，這裏 R ∈R⁺，作商；步驟 (b) 是關於旋轉 Z ~ e^iθZ 的商。

第 (a) 步所得的商是由方程 |Z|² = |Z₀|² + ... + |Z_n|² = 1 所定義的實超球面 S²ⁿ⁺¹。第 (b) 步的商實現為 CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹，這裏 S¹ 表示旋轉群。這個商由著名的霍普夫纖維化S¹ → S²ⁿ⁺¹ → CPⁿ實現 ，纖維屬於 $S^{2n+1}$ 中的大圓。

作為度量商

當取一個黎曼流形（或一般的度量空間）的商時，必須小心確認商空間賦有一個良定義的度量。例如，如果群 G 作用在黎曼流形 (X,g)上，則為了是軌道空間 X/G 擁有一個誘導度量，$g$ 沿着 G-軌道必須是常值，這便是說對任何元素 h ∈ G 以及一對向量場 $X,Y$ 必須有 g(Xh,Yh) = g(X,Y)。

'Cⁿ⁺¹ 上標準埃爾米特度量在標準基下為

$ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\overline {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\overline {Z_{0}}}+\cdots +dZ_{n}\otimes d{\overline {Z_{n}}}.\,$

它的實化是 R²ⁿ 上標準歐幾里得度量。這個度量在 C^* 的作用下沒有不變性，所以我們不能直接將其推下到商空間 CPⁿ 中。但是，這個度量在旋轉群 S¹ = U(1) 的對角作用下是不變的。從而，上面構造中的步驟 (b) 是可能的只要完成步驟 (a)。

富比尼–施圖迪度量是在商CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹ 上誘導的度量, 其中 $S^{2n+1}$ 帶着所謂的「圓度量」，是標準歐幾里得度量在單位超球面上的限制。

在局部仿射坐標中

對應於 CPⁿ 中具有齊次坐標(Z₀,...,Z_n) 的一點，只要 Z₀ ≠ 0，存在惟一 n 個坐標集合 (z₁,…,z_n) 使得

$[Z_{0},\dots ,Z_{n}]\sim [1,z_{1},\dots ,z_{n}],$

特別地 z_j = Z_j/Z₀。這個 (z₁,…,z_n) 組成 CPⁿ 在坐標片 U₀ = {Z₀ ≠0 } 上的一個仿射坐標系。在任意坐標片 U_i={Z_i≠0} 上通過除以 Z_i，得到一個仿射坐標系。這 n+1 個坐標片 U_i 蓋住了 CPⁿ，在 U_i 上可以利用仿射坐標系 (z₁,…,z_n) 給出度量的具體表達式。坐標導數定義了 CPⁿ 全純切叢的一個標架 $\{\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}\}$，利用它們富比尼–施圖迪度量具有埃爾米特分量

$h_{ij}=h(\partial _{i},\partial _{j})={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})\delta _{ij}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}.$

這裏|z|² = z₁²+...+z_n²。這樣，富比尼–施圖迪度量在這個標架下的埃爾米特矩陣是

${\bigl (}h_{ij}{\bigr )}={\frac {1}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]$

注意每個矩陣元素是酉不變的：對角作用 $\mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z}$ 不會改變這個矩陣。

對應地，線元素為

${\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\\&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})dz_{j}d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}dz_{j}d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}.\end{aligned}}$

在最後的表達式中，使用了愛因斯坦求和約定，拉丁字母指標 i 和 j 從 1 求到 n。

在齊次坐標中

在齊次坐標 Z = [Z₀,...,Z_n] 中也有相應的表達式。形式上，我們有

${\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }}{(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha })^{2}}}\\&=2{\frac {Z_{[\alpha }dZ_{\beta ]}{\overline {Z}}^{[\alpha }{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

上面所涉及表達式需合適地理解。上面使用了求和約定，希臘字母指標從 0 求到 n，最後一個等式使用了一個張量的反對稱部分的標準記號：

$Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\frac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).$

現在，ds² 的這個表達式顯然在重言叢 Cⁿ⁺¹\{0} 的全空間上定義了一個張量。通過沿着 CPⁿ 上重言叢的一個全純截面 σ 拉回為 CPⁿ 上一個張量。還需驗證拉回值與界面的選取無關：這可以直接計算。

差一個整體正規化常數，這個度量的凱勒形式為

$\omega =i\partial {\overline {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}.$

其拉回顯然與全純界面的選取無關。量 log|Z|² 是 CPⁿ 的凱勒數量。

n = 1 情形

當 n = 1，有由球極投影給出的微分同胚 $S^{2}\cong \mathbb {CP} ^{1}$。這導致了特殊的霍普夫纖維化 S¹→S³→S²。當在 CP¹ 中的坐標系寫出富比尼–施圖迪度量，它在實切叢上的限制得出 S² 上半徑 1/2 的通常圓度量。

具體地，如果 z = x + iy 是黎曼球面 CP¹ 上標準仿射坐標卡，且x=rcosθ, y = rsinθ 是 C 上的極坐標，則一個簡單的計算表明

$ds^{2}={\frac {dz\;d{\overline {z}}}{\left(1+|z|^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\frac {1}{4}}(d\phi ^{2}+\sin ^{2}\phi \,d\theta ^{2})={\frac {1}{4}}ds_{us}^{2}$

這裏 $ds_{us}^{2}$ 是單位 2-球面上的圓度量。其中 φ, θ 是由球極投影 r tan(φ/2) = 1, tanθ = y/x 給出的 S² 「數學家的」球坐標（許多物理學家偏向於將 φ 和 θ互換）。

曲率性質

在 n = 1 的特例，富比尼–施圖迪度量具有恆等於 4 的數量曲率，因為它與 2-球面的圓度量等價（半徑 R 球面的數量曲率是 $1/R^{2}$）。但是，對 n > 1，富比尼–施圖迪度量沒有常曲率。其截面曲率由下列方程給出

$K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}$

這裏 $\{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}$ 是 2-維平面 σ 的一個標準正交基，J : TCPⁿ → TCPⁿ 是 CPⁿ 上的復結構，而 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 是富比尼–施圖迪度量。

這個公式的一個推論是任何 2-維平面 $\sigma$ 的截面曲率滿足 $1\leq K(\sigma )\leq 4$。最大的截面曲率 (4) 在一個全純 2-維平面得到——對這樣的平面有 J(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 J(σ) 垂直於 σ 的2-維平面 σ 得到。因此，富比尼–施圖迪度量經常稱為有等於 4 的常全純截面曲率。

這使 CPⁿ 成為一個（非嚴格的）四分之一拼擠流形；一個著名的定理指出嚴格四分之一拼擠單連通 n-流形一定同胚於球面。

富比尼–施圖迪度量也是一個愛因斯坦度量，它與里奇張量成比例：存在一個常數 λ 使得對所有 i,j 我們有

$Ric_{ij}=\lambda g_{ij}.$

除此以外，這蘊含着，在差一個數量相乘的意義下，富比尼–施圖迪度量在里奇流下不變。這也使 CPⁿ 與廣義相對論不可分離，它是真空愛因斯坦方程的一個非平凡解。

量子力學

富比尼–施圖迪度量可以用量子力學中廣泛使用的狄拉克符號，或代數幾何中的射影簇記號來定義。為了將兩種語言清楚地等同起來，令

$\vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]$

這裏 $\{\vert e_{k}\rangle \}$ 是希爾伯特空間的一個正交規範基向量集合，$Z_{k}$ 是複數，而 $Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]$ 是射影空間 $\mathbb {C} P^{n}$ 中一點在齊次坐標中的標準記號。那麼，給定空間中兩點 $\vert \psi \rangle =Z_{\alpha }$ 與 $\vert \phi \rangle =W_{\alpha }$，它們之間的距離是

$\gamma (\psi ,\phi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \;\langle \phi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \phi \vert \phi \rangle }}}$

或等價地，在射影簇記號中，

$\gamma (\psi ,\phi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\overline {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {W}}^{\beta }}}}.$

這裏 ${\overline {Z}}^{\alpha }$ 是 $Z_{\alpha }$ 的復共軛。分母中出現的 $\langle \psi \vert \psi \rangle$ 提醒了 $\vert \psi \rangle$ 以及類似的 $\vert \phi \rangle$ 不是單位長規範化的；故這裏明確地做了一個規範化。在希爾伯特空間中，此度量可相當平凡地理解為兩個向量之間的角度；故它又稱為量子角（quantum angle）。這個角度是實值的，取值於零到 $\pi /2$。

通過取 $\phi =\psi +\delta \psi$，或等價地 $W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }$，馬上可以等到這個度量的無窮小形式

$ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.$

在量子力學中，CP¹ 叫做布洛赫球面；富比尼–施圖迪度量是量子力學幾何化的自然度量。量子力學的許多獨特的行為，包括量子糾纏和貝里相位（Berry phase）效應，可以歸於富比尼–施圖迪度量的特性。

乘積度量

通常的可分性概念適用於富比尼–施圖迪度量。更準確地講，此度量在射影空間的自然乘積塞格雷嵌入中是可分的。這是說如果 $\vert \psi \rangle$ 是一個可分態，從而可以寫成 $\vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle$，則度量是子空間上度量之和：

$ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}$

這裏 ${ds_{A}}^{2}$ 和 ${ds_{B}}^{2}$ 是在子空間 A 與 B 上各自的度量。

相關條目

• 非線性σ模型
• 卡魯扎-克萊因理論

參考文獻

• Besse, Arthur L., Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag: xii+510, 1987, ISBN 978-3-540-15279-8 
• Brody, D.C.; Hughston, L.P., Geometric Quantum Mechanics, Journal of Geometry and Physics, 2001, 38: 19–53, doi:10.1016/S0393-0440(00)00052-8 
• Griffiths, P.; Harris, J., Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library, Wiley Interscience: 30–31, 1994, ISBN 0-471-05059-8 
• Onishchik, A.L., Fubini–Study metric, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .