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富比尼–施圖迪度量

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在數學中,富比尼–施圖迪度量Fubini–Study metric)是射影希爾伯特空間上一個凱勒度量。所謂射影希爾伯特空間即賦予了埃爾米特形式復射影空間 CPn。這個度量最先由圭多·富比尼愛德華·施圖迪在1904年與1905年描述。

向量空間 Cn+1 上一個埃爾米特形式定義了 GL(n+1,C) 中一個子群 U(n+1)。一個富比尼–施圖迪度量在差一個位似(整體縮放)的意義下由這樣一個 U(n+1) 作用下的不變性決定;從而是齊性的。賦予這樣一個富比尼–施圖迪度量後,CPn 是一個對稱空間。度量的特定正規化與(2n+1)-球面上的標準度量有關。在代數幾何中,利用一個正規化使 CPn 成為一個霍奇流形

構造

富比尼–施圖迪度量自然出現於復射影空間商空間構造。

具體地,可以定義 CPnCn+1 中復直線組成的空間,即 Cn+1 在將一點與其所有複數倍聯繫在一起的等價關係下的商。這與在乘法群 C* = C \ {0} 的對角群作用下的商相同:

這個商將 Cn+1 實現為底空間 CPn 上的復線叢(事實上這就是 CPn 上所謂的重言叢)。CPn 中的一點等同於 (n+1)-元組 [Z0,...,Zn] 模去非零復縮放的一個等價類;這些 Zi 稱為這個點的齊次坐標

進一步,我們可以分兩步實現這個商:因為乘以一個非零複數 z = Re 可以惟一地想成一個以模長 R 為因子的縮放與沿着原點一個逆時針旋轉角度 的複合,商 Cn+1CPn 分成兩塊。

其中第 (a) 步以正實數乘法群 R+ 的縮放 Z ~ RZ,這裏 RR+,作商;步驟 (b) 是關於旋轉 Z ~ eZ 的商。

第 (a) 步所得的商是由方程 |Z|2 = |Z0|2 + ... + |Zn|2 = 1 所定義的實超球面 S2n+1。第 (b) 步的商實現為 CPn = S2n+1/S1,這裏 S1 表示旋轉群。這個商由著名的霍普夫纖維化S1 → S2n+1 → CPn實現 ,纖維屬於 中的大圓

作為度量商

當取一個黎曼流形(或一般的度量空間)的商時,必須小心確認商空間賦有一個良定義的度量。例如,如果群 G 作用在黎曼流形 (X,g)上,則為了是軌道空間 X/G 擁有一個誘導度量, 沿着 G-軌道必須是常值,這便是說對任何元素 hG 以及一對向量場 必須有 g(Xh,Yh) = g(X,Y)。

'Cn+1 上標準埃爾米特度量在標準基下為

它的實化是 R2n 上標準歐幾里得度量。這個度量在 C* 的作用下沒有不變性,所以我們不能直接將其推下到商空間 CPn 中。但是,這個度量在旋轉群 S1 = U(1) 的對角作用下是不變的。從而,上面構造中的步驟 (b) 是可能的只要完成步驟 (a)。

富比尼–施圖迪度量是在商CPn = S2n+1/S1 上誘導的度量, 其中 帶着所謂的「圓度量」,是標準歐幾里得度量在單位超球面上的限制。

在局部仿射坐標中

對應於 CPn 中具有齊次坐標(Z0,...,Zn) 的一點,只要 Z0 ≠ 0,存在惟一 n 個坐標集合 (z1,…,zn) 使得

特別地 zj = Zj/Z0。這個 (z1,…,zn) 組成 CPn 在坐標片 U0 = {Z0 ≠0 } 上的一個仿射坐標系。在任意坐標片 Ui={Zi≠0} 上通過除以 Zi,得到一個仿射坐標系。這 n+1 個坐標片 Ui 蓋住了 CPn,在 Ui 上可以利用仿射坐標系 (z1,…,zn) 給出度量的具體表達式。坐標導數定義了 CPn 全純切叢的一個標架 ,利用它們富比尼–施圖迪度量具有埃爾米特分量

這裏|z|2 = z12+...+zn2。這樣,富比尼–施圖迪度量在這個標架下的埃爾米特矩陣

注意每個矩陣元素是酉不變的:對角作用 不會改變這個矩陣。

對應地,線元素

在最後的表達式中,使用了愛因斯坦求和約定,拉丁字母指標 ij 從 1 求到 n

在齊次坐標中

在齊次坐標 Z = [Z0,...,Zn] 中也有相應的表達式。形式上,我們有

上面所涉及表達式需合適地理解。上面使用了求和約定,希臘字母指標從 0 求到 n,最後一個等式使用了一個張量的反對稱部分的標準記號:

現在,ds2 的這個表達式顯然在重言叢 Cn+1\{0} 的全空間上定義了一個張量。通過沿着 CPn 上重言叢的一個全純截面 σ 拉回為 CPn 上一個張量。還需驗證拉回值與界面的選取無關:這可以直接計算。

差一個整體正規化常數,這個度量的凱勒形式為

其拉回顯然與全純界面的選取無關。量 log|Z|2CPn 的凱勒數量。

n = 1 情形

n = 1,有由球極投影給出的微分同胚 。這導致了特殊的霍普夫纖維化 S1S3S2。當在 CP1 中的坐標系寫出富比尼–施圖迪度量,它在實切叢上的限制得出 S2 上半徑 1/2 的通常圓度量。

具體地,如果 z = x + iy黎曼球面 CP1 上標準仿射坐標卡,且x=rcosθ, y = rsinθ 是 C 上的極坐標,則一個簡單的計算表明

這裏 是單位 2-球面上的圓度量。其中 φ, θ 是由球極投影 r tan(φ/2) = 1, tanθ = y/x 給出的 S2 「數學家的」球坐標(許多物理學家偏向於將 φ 和 θ互換)。

曲率性質

n = 1 的特例,富比尼–施圖迪度量具有恆等於 4 的數量曲率,因為它與 2-球面的圓度量等價(半徑 R 球面的數量曲率是 )。但是,對 n > 1,富比尼–施圖迪度量沒有常曲率。其截面曲率由下列方程給出[1]

這裏 是 2-維平面 σ 的一個標準正交基J : TCPn → TCPnCPn 上的復結構,而 是富比尼–施圖迪度量。

這個公式的一個推論是任何 2-維平面 的截面曲率滿足 。最大的截面曲率 (4) 在一個全純 2-維平面得到——對這樣的平面有 J(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 J(σ) 垂直於 σ 的2-維平面 σ 得到。因此,富比尼–施圖迪度量經常稱為有等於 4 的常全純截面曲率。

這使 CPn 成為一個(非嚴格的)四分之一拼擠流形英語Sphere theorem;一個著名的定理指出嚴格四分之一拼擠單連通 n-流形一定同胚於球面。

富比尼–施圖迪度量也是一個愛因斯坦度量,它與里奇張量成比例:存在一個常數 λ 使得對所有 i,j 我們有

除此以外,這蘊含着,在差一個數量相乘的意義下,富比尼–施圖迪度量在里奇流下不變。這也使 CPn廣義相對論不可分離,它是真空愛因斯坦方程的一個非平凡解。

量子力學

富比尼–施圖迪度量可以用量子力學中廣泛使用的狄拉克符號,或代數幾何中的射影簇記號來定義。為了將兩種語言清楚地等同起來,令

這裏 希爾伯特空間的一個正交規範基向量集合, 是複數,而 是射影空間 中一點在齊次坐標中的標準記號。那麼,給定空間中兩點 ,它們之間的距離是

或等價地,在射影簇記號中,

這裏 復共軛。分母中出現的 提醒了 以及類似的 不是單位長規範化的;故這裏明確地做了一個規範化。在希爾伯特空間中,此度量可相當平凡地理解為兩個向量之間的角度;故它又稱為量子角quantum angle)。這個角度是實值的,取值於零到

通過取 ,或等價地 ,馬上可以等到這個度量的無窮小形式

量子力學中,CP1 叫做布洛赫球面;富比尼–施圖迪度量是量子力學幾何化的自然度量。量子力學的許多獨特的行為,包括量子糾纏貝里相位Berry phase英語Berry phase)效應,可以歸於富比尼–施圖迪度量的特性。

乘積度量

通常的可分性概念適用於富比尼–施圖迪度量。更準確地講,此度量在射影空間的自然乘積塞格雷嵌入英語Segre embedding中是可分的。這是說如果 是一個可分態,從而可以寫成 ,則度量是子空間上度量之和:

這裏 是在子空間 AB 上各自的度量。

相關條目

參考文獻

  1. ^ Sakai, T. Riemannian Geometry, Translations of Mathematical Monographs No. 149 (1995), American Mathematics Society.