在數學中,富比尼–施圖迪度量(Fubini–Study metric)是射影希爾伯特空間上一個凱勒度量。所謂射影希爾伯特空間即賦予了埃爾米特形式的復射影空間 CPn。這個度量最先由圭多·富比尼與愛德華·施圖迪在1904年與1905年描述。
向量空間 Cn+1 上一個埃爾米特形式定義了 GL(n+1,C) 中一個酉子群 U(n+1)。一個富比尼–施圖迪度量在差一個位似(整體縮放)的意義下由這樣一個 U(n+1) 作用下的不變性決定;從而是齊性的。賦予這樣一個富比尼–施圖迪度量後,CPn 是一個對稱空間。度量的特定正規化與(2n+1)-球面上的標準度量有關。在代數幾何中,利用一個正規化使 CPn 成為一個霍奇流形。
構造
富比尼–施圖迪度量自然出現於復射影空間的商空間構造。
具體地,可以定義 CPn 由 Cn+1 中復直線組成的空間,即 Cn+1 在將一點與其所有複數倍聯繫在一起的等價關係下的商。這與在乘法群 C* = C \ {0} 的對角群作用下的商相同:
![{\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\}/\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a5da130d5021f1059a9aad55a349d6ed219e91)
這個商將 Cn+1 實現為底空間 CPn 上的復線叢(事實上這就是 CPn 上所謂的重言叢)。CPn 中的一點等同於 (n+1)-元組 [Z0,...,Zn] 模去非零復縮放的一個等價類;這些 Zi 稱為這個點的齊次坐標。
進一步,我們可以分兩步實現這個商:因為乘以一個非零複數 z = R eiθ 可以惟一地想成一個以模長 R 為因子的縮放與沿着原點一個逆時針旋轉角度
的複合,商 Cn+1→CPn 分成兩塊。
![{\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}{\stackrel {(a)}{\longrightarrow }}S^{2n+1}{\stackrel {(b)}{\longrightarrow }}\mathbf {CP} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ca5c5306adcd2c12e2a738da35c4e6c791ca76)
其中第 (a) 步以正實數乘法群 R+ 的縮放 Z ~ RZ,這裏 R ∈R+,作商;步驟 (b) 是關於旋轉 Z ~ eiθZ 的商。
第 (a) 步所得的商是由方程 |Z|2 = |Z0|2 + ... + |Zn|2 = 1 所定義的實超球面 S2n+1。第 (b) 步的商實現為 CPn = S2n+1/S1,這裏 S1 表示旋轉群。這個商由著名的霍普夫纖維化S1 → S2n+1 → CPn實現 ,纖維屬於
中的大圓。
作為度量商
當取一個黎曼流形(或一般的度量空間)的商時,必須小心確認商空間賦有一個良定義的度量。例如,如果群 G 作用在黎曼流形 (X,g)上,則為了是軌道空間 X/G 擁有一個誘導度量,
沿着 G-軌道必須是常值,這便是說對任何元素 h ∈ G 以及一對向量場
必須有 g(Xh,Yh) = g(X,Y)。
'Cn+1 上標準埃爾米特度量在標準基下為
![{\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\overline {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\overline {Z_{0}}}+\cdots +dZ_{n}\otimes d{\overline {Z_{n}}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9846a8b0917f5ffae125ab4e419a12bec8acd1cb)
它的實化是 R2n 上標準歐幾里得度量。這個度量在 C* 的作用下沒有不變性,所以我們不能直接將其推下到商空間 CPn 中。但是,這個度量在旋轉群 S1 = U(1) 的對角作用下是不變的。從而,上面構造中的步驟 (b) 是可能的只要完成步驟 (a)。
富比尼–施圖迪度量是在商CPn = S2n+1/S1 上誘導的度量, 其中
帶着所謂的「圓度量」,是標準歐幾里得度量在單位超球面上的限制。
在局部仿射坐標中
對應於 CPn 中具有齊次坐標(Z0,...,Zn) 的一點,只要 Z0 ≠ 0,存在惟一 n 個坐標集合 (z1,…,zn) 使得
![{\displaystyle [Z_{0},\dots ,Z_{n}]\sim [1,z_{1},\dots ,z_{n}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3ddf60eeaa5cd663a6221ad423d47d12f58727)
特別地 zj = Zj/Z0。這個 (z1,…,zn) 組成 CPn 在坐標片 U0 = {Z0 ≠0 } 上的一個仿射坐標系。在任意坐標片 Ui={Zi≠0} 上通過除以 Zi,得到一個仿射坐標系。這 n+1 個坐標片 Ui 蓋住了 CPn,在 Ui 上可以利用仿射坐標系 (z1,…,zn) 給出度量的具體表達式。坐標導數定義了 CPn 全純切叢的一個標架
,利用它們富比尼–施圖迪度量具有埃爾米特分量
![{\displaystyle h_{ij}=h(\partial _{i},\partial _{j})={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})\delta _{ij}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c64048651113ecab242b36df17ae62c0d1a2a6)
這裏|z|2 = z12+...+zn2。這樣,富比尼–施圖迪度量在這個標架下的埃爾米特矩陣是
![{\displaystyle {\bigl (}h_{ij}{\bigr )}={\frac {1}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404698019eb2ce2743fa4e354339c3282b10a622)
注意每個矩陣元素是酉不變的:對角作用
不會改變這個矩陣。
對應地,線元素為
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\\&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})dz_{j}d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}dz_{j}d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1301d4423157cc471c0f9068df5688526be37a)
在最後的表達式中,使用了愛因斯坦求和約定,拉丁字母指標 i 和 j 從 1 求到 n。
在齊次坐標中
在齊次坐標 Z = [Z0,...,Zn] 中也有相應的表達式。形式上,我們有
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }}{(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha })^{2}}}\\&=2{\frac {Z_{[\alpha }dZ_{\beta ]}{\overline {Z}}^{[\alpha }{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c010751432ab7df67443f2dd11471d2b1c22bd)
上面所涉及表達式需合適地理解。上面使用了求和約定,希臘字母指標從 0 求到 n,最後一個等式使用了一個張量的反對稱部分的標準記號:
![{\displaystyle Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\frac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca1668ed5c8bdb979877b7c79091b3f9d53faf4)
現在,ds2 的這個表達式顯然在重言叢 Cn+1\{0} 的全空間上定義了一個張量。通過沿着 CPn 上重言叢的一個全純截面 σ 拉回為 CPn 上一個張量。還需驗證拉回值與界面的選取無關:這可以直接計算。
差一個整體正規化常數,這個度量的凱勒形式為
![{\displaystyle \omega =i\partial {\overline {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e6465e65a7a5368e7d4769236e7937b6c18991)
其拉回顯然與全純界面的選取無關。量 log|Z|2 是 CPn 的凱勒數量。
n = 1 情形
當 n = 1,有由球極投影給出的微分同胚
。這導致了特殊的霍普夫纖維化 S1→S3→S2。當在 CP1 中的坐標系寫出富比尼–施圖迪度量,它在實切叢上的限制得出 S2 上半徑 1/2 的通常圓度量。
具體地,如果 z = x + iy 是黎曼球面 CP1 上標準仿射坐標卡,且x=rcosθ, y = rsinθ 是 C 上的極坐標,則一個簡單的計算表明
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {dz\;d{\overline {z}}}{\left(1+|z|^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\frac {1}{4}}(d\phi ^{2}+\sin ^{2}\phi \,d\theta ^{2})={\frac {1}{4}}ds_{us}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed5e51b8d4ef1edd8ddd7475d1e79b93146f05d)
這裏
是單位 2-球面上的圓度量。其中 φ, θ 是由球極投影 r tan(φ/2) = 1, tanθ = y/x 給出的 S2 「數學家的」球坐標(許多物理學家偏向於將 φ 和 θ互換)。
曲率性質
在 n = 1 的特例,富比尼–施圖迪度量具有恆等於 4 的數量曲率,因為它與 2-球面的圓度量等價(半徑 R 球面的數量曲率是
)。但是,對 n > 1,富比尼–施圖迪度量沒有常曲率。其截面曲率由下列方程給出[1]
![{\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8972caf220b753a776a45aa0bbdcbdf2589fc58a)
這裏
是 2-維平面 σ 的一個標準正交基,J : TCPn → TCPn 是 CPn 上的復結構,而
是富比尼–施圖迪度量。
這個公式的一個推論是任何 2-維平面
的截面曲率滿足
。最大的截面曲率 (4) 在一個全純 2-維平面得到——對這樣的平面有 J(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 J(σ) 垂直於 σ 的2-維平面 σ 得到。因此,富比尼–施圖迪度量經常稱為有等於 4 的常全純截面曲率。
這使 CPn 成為一個(非嚴格的)四分之一拼擠流形;一個著名的定理指出嚴格四分之一拼擠單連通 n-流形一定同胚於球面。
富比尼–施圖迪度量也是一個愛因斯坦度量,它與里奇張量成比例:存在一個常數 λ 使得對所有 i,j 我們有
![{\displaystyle Ric_{ij}=\lambda g_{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa060131e003b59b933fd93e81610bcb4ccc538)
除此以外,這蘊含着,在差一個數量相乘的意義下,富比尼–施圖迪度量在里奇流下不變。這也使
CPn 與廣義相對論不可分離,它是真空愛因斯坦方程的一個非平凡解。
量子力學
富比尼–施圖迪度量可以用量子力學中廣泛使用的狄拉克符號,或代數幾何中的射影簇記號來定義。為了將兩種語言清楚地等同起來,令
![{\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a69fef50eeb2171ccb65bc161a7c4dfa5483c8)
這裏
是希爾伯特空間的一個正交規範基向量集合,
是複數,而
是射影空間
中一點在齊次坐標中的標準記號。那麼,給定空間中兩點
與
,它們之間的距離是
![{\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \;\langle \phi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \phi \vert \phi \rangle }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a78cafffee574612d6c4cc06122a0a25f504b4b)
或等價地,在射影簇記號中,
![{\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\overline {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {W}}^{\beta }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0ec9b4ca380125efe7c620bc9e345bebe373226)
這裏
是
的復共軛。分母中出現的
提醒了
以及類似的
不是單位長規範化的;故這裏明確地做了一個規範化。在希爾伯特空間中,此度量可相當平凡地理解為兩個向量之間的角度;故它又稱為量子角(quantum angle)。這個角度是實值的,取值於零到
。
通過取
,或等價地
,馬上可以等到這個度量的無窮小形式
![{\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a30d6275e82cd71d878614d2ee2816d0511d1f7)
在量子力學中,CP1 叫做布洛赫球面;富比尼–施圖迪度量是量子力學幾何化的自然度量。量子力學的許多獨特的行為,包括量子糾纏和貝里相位(Berry phase)效應,可以歸於富比尼–施圖迪度量的特性。
乘積度量
通常的可分性概念適用於富比尼–施圖迪度量。更準確地講,此度量在射影空間的自然乘積塞格雷嵌入中是可分的。這是說如果
是一個可分態,從而可以寫成
,則度量是子空間上度量之和:
![{\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4763c70ba0dc0e696bc56af8010e1802e5317e)
這裏
和
是在子空間 A 與 B 上各自的度量。
相關條目
參考文獻
- ^ Sakai, T. Riemannian Geometry, Translations of Mathematical Monographs No. 149 (1995), American Mathematics Society.
- Besse, Arthur L., Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag: xii+510, 1987, ISBN 978-3-540-15279-8
- Brody, D.C.; Hughston, L.P., Geometric Quantum Mechanics, Journal of Geometry and Physics, 2001, 38: 19–53, doi:10.1016/S0393-0440(00)00052-8
- Griffiths, P.; Harris, J., Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library, Wiley Interscience: 30–31, 1994, ISBN 0-471-05059-8
- Onishchik, A.L., Fubini–Study metric, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .