博雷爾-卡拉西奧多里定理

在複分析中，博雷爾-卡拉西奧多里定理（Borel-Carathéodory theorem）表明解析函數有一個用實部表示的上界。它是最大模原理的一個應用，以埃米爾·博雷爾與康斯坦丁·卡拉西奧多里命名。

定理陳述

設函數$f$在以原點為圓心以$R$為半徑的閉圓盤上解析。假設$r<R$，則有以下不等式：

$\|f\|_{r}\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|z|\leq R}{\operatorname {Re} {f(z)}}+{\frac {R+r}{R-r}}|f(0)|$

其中左邊的範數是$f$在閉圓盤上的最大值：

$\|f\|_{r}=\max _{|z|\leq r}{|f(z)|}=\max _{|z|=r}{|f(z)|}$

證明

定義$A=\sup _{|z|\leq R}{\operatorname {Re} {f(z)}}$。

首先設$f(0)=0$。由於$\operatorname {Re} {f}$是調和的，可以取$A>0$。$f$映到直線$x=A$左邊的半平面$P$。我們想把這個半平面映到圓盤上，再用施瓦茨引理，得到所要的不等式。

$w\mapsto w/A-1$把$P$變成標準左半平面。$w\mapsto R(w+1)/(w-1)$把左半平面變成圓心在原點且半徑為$R$的圓。它們的複合映射把0映成0，就是所需要的映射：

$w\mapsto {\frac {Rw}{w-2A}}$

對上面這個映射與$f$的複合使用施瓦茨引理，得到

${\frac {|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}}\leq |z|$

取$|z|<r$，上式變為

$R|f(z)|\leq r|f(z)-2A|\leq r|f(z)|+2Ar$

所以

$|f(z)|\leq {\frac {2Ar}{R-r}}$

對於一般的情況，考慮$f(z)-f(0)$

${\begin{aligned}|f(z)|-|f(0)|&\leq |f(z)-f(0)|\\&\leq {\frac {2r}{R-r}}\sup _{|w|\leq R}{\operatorname {Re} {(f(w)-f(0))}}\\&\leq {\frac {2r}{R-r}}\left(\sup _{|w|\leq R}{\operatorname {Re} {f(w)}+|f(0)|}\right)\\\end{aligned}}$

整理後即得所要證明的不等式。

參考資料

• Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
• Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.