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博雷尔-卡拉西奥多里定理

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复分析中,博雷尔-卡拉西奥多里定理(Borel-Carathéodory theorem)表明解析函数有一个用实部表示的上界。它是最大模原理的一个应用,以埃米尔·博雷尔康斯坦丁·卡拉西奥多里命名。

定理陈述

设函数在以原点为圆心以为半径的闭圆盘上解析。假设,则有以下不等式:

其中左边的范数是在闭圆盘上的最大值:

证明

定义

首先设。由于是调和的,可以取映到直线左边的半平面。我们想把这个半平面映到圆盘上,再用施瓦茨引理,得到所要的不等式。

变成标准左半平面。把左半平面变成圆心在原点且半径为的圆。它们的复合映射把0映成0,就是所需要的映射:

对上面这个映射与的复合使用施瓦茨引理,得到

,上式变为

所以

对于一般的情况,考虑

整理后即得所要证明的不等式。

参考资料

  • Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
  • Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.