萬有係數定理

代數拓撲中，萬有係數定理建立了同調群（或上同調群）與不同係數的關係。例如，對每個拓撲空間X，其整同調群是：

$H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )$

對任何阿貝爾群A，都能完全確定其係數在A中的同調群：

$H_{i}(X;\ A)$

其中$H_{i}$可能是單純同調或更一般的奇異同調。此結果的一般證明是關於自由阿貝爾群鏈復形的純同調代數，結果的形式是，可以使用其他係數A，代價是使用Tor函子。

例如，通常取A為$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$，於是係數是模2。在同調中沒有2-扭化的情形下，這就變得簡單明了了。一般來說，這結果表明了X的貝蒂數$b_{i}$與F域中的係數的貝蒂數$b_{i,\ F}$之間的關係。但只有當F的特徵是素數p、且同調中存在某種p-扭化時，才會有所不同。

同調情形的說明

考慮模的張量積$H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\otimes A$。該定理指出，有一個涉及Tor函子的短正合列

$0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.$

其中μ是雙射$H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\times A\to H_{i}(X;\ A)$誘導的映射。即，張量積的同態由直積的雙射誘導。此外，這序列會分裂，雖然不是自然分裂。

若係數環A是$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$，這就是伯克斯坦譜序列的一個特例。

上同調的萬有係數定理

令G為主理想域R（如$\mathbb {Z}$或某個域）上的模。

還有一個涉及Ext函子的上同調的萬有係數定理，斷言有自然的短正合列

$0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.$

與同調情形一樣，序列會分裂，雖然不是自然分裂。

事實上，假設

$H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G$

並定義：

$H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).$

則上面的h就是規範映射：

$h([f])([x])=f(x).$

另一種觀點是用艾倫伯格–麥克萊恩空間表示上同調，當中h將X到$K(G,\ i)$的映射的同倫類映射到同調中導出的相應同態。於是，艾倫伯格–麥克萊恩空間弱右伴隨於同調函子。

例子：實射影空間的模2上同調

令$X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )$，即實射影空間。計算X的係數在$R=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$中的奇異上同調。

已知，整數同調由下式給出：

$H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

有${\rm {Ext}}(R,\ R)=R,\ {\rm {Ext}}(\mathbb {Z} ,\ R)=0$，於是上述正合列給出

$\forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R.$

事實上，總上同調環結構是

$H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .$

推論

定理的一個特例是計算整上同調。對有限CW復形X，$H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )$是有限生成的，因此有如下分解：

$H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},$

其中$\beta _{i}(X)$是X的貝蒂數，$T_{i}$是$H_{i}$的扭部分。可以檢驗

$\operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},$

且

$\operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.$

這給出了整上同調的如下聲明：

$H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.$

對於有向閉連通n維流形X，這一推論與龐加萊對偶性相結合，得出$\beta _{i}(X)=\beta _{n-i}(X)$。

萬有係數譜序列

對具有扭係數的（上）同調，有萬有係數定理的推廣。對於上同調，有

$E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G)$

其中R是單位環，$C_{*}$是R上自由模的鏈復形，G是某單位環S的任意$(R,S)$-雙模，${\rm {Ext}}$是Ext群。微分${\rm {d}}^{r}$的度為$(1-r,\ r)$。

同調也類似

$E_{p,q}^{2}={\rm {Tor}}_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G)$

其中${\rm {Tor}}$是Tor群，微分${\rm {d}}_{r}$的度為$(r-1,\ -r)$。

參考文獻

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
• Kainen, P. C. Weak Adjoint Functors. Mathematische Zeitschrift. 1971, 122: 1–9. S2CID 122894881. doi:10.1007/bf01113560. 
• Jerome Levine. 「Knot Modules. I.」 Transactions of the American Mathematical Society 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498

外部連結

• Universal coefficient theorem with ring coefficients