万有系数定理

代数拓扑中，万有系数定理建立了同调群（或上同调群）与不同系数的关系。例如，对每个拓扑空间X，其整同调群是：

$H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )$

对任何阿贝尔群A，都能完全确定其系数在A中的同调群：

$H_{i}(X;\ A)$

其中$H_{i}$可能是单纯同调或更一般的奇异同调。此结果的一般证明是关于自由阿贝尔群链复形的纯同调代数，结果的形式是，可以使用其他系数A，代价是使用Tor函子。

例如，通常取A为$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$，于是系数是模2。在同调中没有2-扭化的情形下，这就变得简单明了了。一般来说，这结果表明了X的贝蒂数$b_{i}$与F域中的系数的贝蒂数$b_{i,\ F}$之间的关系。但只有当F的特征是素数p、且同调中存在某种p-扭化时，才会有所不同。

同调情形的说明

考虑模的张量积$H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\otimes A$。该定理指出，有一个涉及Tor函子的短正合列

$0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.$

其中μ是双射$H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\times A\to H_{i}(X;\ A)$诱导的映射。即，张量积的同态由直积的双射诱导。此外，这序列会分裂，虽然不是自然分裂。

若系数环A是$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$，这就是伯克斯坦谱序列的一个特例。

上同调的万有系数定理

令G为主理想域R（如$\mathbb {Z}$或某个域）上的模。

还有一个涉及Ext函子的上同调的万有系数定理，断言有自然的短正合列

$0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.$

与同调情形一样，序列会分裂，虽然不是自然分裂。

事实上，假设

$H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G$

并定义：

$H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).$

则上面的h就是规范映射：

$h([f])([x])=f(x).$

另一种观点是用艾伦伯格–麦克莱恩空间表示上同调，当中h将X到$K(G,\ i)$的映射的同伦类映射到同调中导出的相应同态。于是，艾伦伯格–麦克莱恩空间弱右伴随于同调函子。

例子：实射影空间的模2上同调

令$X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )$，即实射影空间。计算X的系数在$R=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$中的奇异上同调。

已知，整数同调由下式给出：

$H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

有${\rm {Ext}}(R,\ R)=R,\ {\rm {Ext}}(\mathbb {Z} ,\ R)=0$，于是上述正合列给出

$\forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R.$

事实上，总上同调环结构是

$H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .$

推论

定理的一个特例是计算整上同调。对有限CW复形X，$H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )$是有限生成的，因此有如下分解：

$H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},$

其中$\beta _{i}(X)$是X的贝蒂数，$T_{i}$是$H_{i}$的扭部分。可以检验

$\operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},$

且

$\operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.$

这给出了整上同调的如下声明：

$H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.$

对于有向闭连通n维流形X，这一推论与庞加莱对偶性相结合，得出$\beta _{i}(X)=\beta _{n-i}(X)$。

万有系数谱序列

对具有扭系数的（上）同调，有万有系数定理的推广。对于上同调，有

$E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G)$

其中R是单位环，$C_{*}$是R上自由模的链复形，G是某单位环S的任意$(R,S)$-双模，${\rm {Ext}}$是Ext群。微分${\rm {d}}^{r}$的度为$(1-r,\ r)$。

同调也类似

$E_{p,q}^{2}={\rm {Tor}}_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G)$

其中${\rm {Tor}}$是Tor群，微分${\rm {d}}_{r}$的度为$(r-1,\ -r)$。

参考文献

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Kainen, P. C. Weak Adjoint Functors. Mathematische Zeitschrift. 1971, 122: 1–9. S2CID 122894881. doi:10.1007/bf01113560. 
• Jerome Levine. “Knot Modules. I.” Transactions of the American Mathematical Society 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498

外部链接

• Universal coefficient theorem with ring coefficients