在量子力學裏，Delta位勢壘是一個壘內位勢為狄拉克Delta函數，壘外位勢為0的位勢壘。Delta位勢壘問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射系數與透射系數。在許多量子力學的教科書裏，這是一個常見的習題。
定義
對於一個Delta位勢壘的散射。往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射系數與反射系數的行進波都以紅色表示。
一個粒子獨立於時間的薛定諤方程式為
；
其中，
是約化普朗克常數，
是粒子質量，
是粒子位置，
是能量，
是波函數，
是位勢，表達為
；
其中，
是狄拉克Delta函數，
是狄拉克Delta函數的強度。
導引
這位勢壘將一維空間分為兩個區域：
與
。在任何一個區域內，位勢為常數，薛定諤方程式的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加（參閱自由粒子）：
，
；
其中，
、
、
、
都是必須由邊界條件決定的常數，下標
與
分別標記波函數往右或往左的方向。
是波數。
由於
，
與
都是行進波。這兩個波必須滿足在
的邊界條件：
，
。
特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在並不是連續的，在位勢壘兩邊的差額有
這麼多。這方程式的推導必須用到薛定諤方程式。將薛定諤方程式積分於的一個非常小的鄰域：
；(1)
其中，
是一個非常小的數值。
方程式(1)右邊的能量項目是
。(2)
在
的極限，這項目往著0去。
方程式(1)左邊是
(3)
根據狄拉克Delta函數的定義，
。(4)
而在的極限，
，(5)
。(6)
將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，稍加編排，可以得到第二個邊界條件方程式：在，
。
從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：
，
。
反射與透射
一個Delta位勢壘的反射系數
（用紅線表示）與透射系數
（用綠線表示）隨着能量的變化。在這裏，能量。能量的單位是
。經典力學的答案用虛線表示，量子力學的答案用實線表示。
由於能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間，或。可是，在Delta位勢壘，粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射系數與透射系數。設定
，
，
，
。求算反射的機率幅與透射的機率幅
：
，
。
反射系數是
。
透射系數是
。
這純粹是一個量子力學的效應，稱為量子穿隧效應；在經典力學裏，透射系數等於0，粒子不可能會透射過位勢壘。
- 由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
- 很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射系數與透射系數。
參閱
