雙球坐標系

圖 1 ）雙球坐標系的幾個坐標曲面。紅色環面的 $\sigma =45^{\circ }$ 。藍色圓球面的 $\tau =0.5$ 。黃色半平面的 $\phi =60^{\circ }$ 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 $(0.841,\ -1.456,\ 1.239)$ 。

圖 2 ）雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色環面（ $\sigma$-坐標曲面），而藍色圓圈則變成藍色圓球面（ $\tau$-坐標曲面）。

雙球坐標系（英語：Bispherical coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維雙極坐標系包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點 $F_{1}$ 與 $F_{2}$ 包含於 z-軸。將雙極坐標系繞着 z-軸旋轉，則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏，坐標 $\sigma$ 的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後，圓圈變成一個環面，而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈，稱為環心圓。稱環心圓至環面的距離為環小半徑。

基本定義

在三維空間裏，一個點 P 的雙球坐標 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 最常見的定義是

$x=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi$ 、

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi$ 、

$z=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ ；

其中，$(x,\ y,\ z)$ 是直角坐標，$\sigma$ 坐標是 $\angle F_{1}PF_{2}$ 的弧度，$\tau$ 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 $d_{1}$ 與 $d_{2}$ 的比例的自然對數：

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$ 。

坐標曲面

每一個紅色的 $\sigma$-坐標曲面都是包含了兩個焦點 $F_{1}$ 與 $F_{2}$ 環面。，每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為

$z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$ 。

當絕對值 $\left|\sigma \right|$ 增加時，環小半徑會減小，環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時，$\left|\sigma \right|$ 達到最大值 $\pi /2$ 。

每一個藍色的 $\tau$-坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍着一個焦點；圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為

$x^{2}+y^{2}+(z-a\coth \tau )^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$ 。

它們的圓球心都包含於 z-軸。正值 $\tau$ 的圓球面在 $z>0$ 半空間；而負值 $\tau$ 的圓球面在 $z<0$ 半空間。$\tau =0$ 曲線則與 xy-平面同平面。當 $\tau$ 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

逆變換

圖 3 ）點 P 的坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 的幾何意義。在一個方位角 $\phi$ 為常數的平面裏，雙球坐標系變成雙極坐標系。$\sigma$ 是角 $\angle F_{1}PF_{2}$ 的弧度。$\tau$ 是點 P 離兩個焦點的距離 $d_{1}$ 與 $d_{2}$ 的比例的自然對數。$\sigma$ 與 $\tau$ 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（表示在洋紅色的方盒裏）。

雙球坐標 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 可以用直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 來表示。方位角 $\phi$ 的公式為

$\tan \phi ={\frac {y}{x}}$ 。

點 P 與兩個焦點之間的距離是

$d_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}$ 、

$d_{2}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}$ 。

$\tau$ 是 $d_{1}$ 與 $d_{2}$ 的比例的自然對數：

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$ 。

如圖 3 ，$\angle F_{1}PF_{2}$ 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是 $\sigma$ 。用餘弦定理來計算：

$\cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}$ 。

標度因子

雙球坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 的標度因子相等：

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ 。

方位角的標度因子為

$h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ 。

無窮小體積元素是

$dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}}d\sigma d\tau d\phi$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ ， $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用 $(\sigma ,\ \tau ,\ z)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

雙球坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙球坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個不同半徑的圓球導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用雙球坐標，我們可以精緻地分析這個問題。

參考目錄

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 665–666.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 113. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 110–112 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)