級數展開

一個展示餘弦函數被連續截斷的麥克勞林級數逼近的動畫。

在數學中，級數展開是將一個函數展開成級數，或無窮和的形式。它是一種計算僅靠基本運算符（加、減、乘、除）無法表達的函數的方法。

由此產生的級數往往可以通過僅取有限項，產生近似。序列中使用的項越少，近似就越簡單。由於省略的部分和產生的不精確通常可以用包含大O符號的方程來描述。對於非解析函數，開放區間上的級數展開是一個近似值。

級數展開的種類

這裏介紹了若干種級數展開的方式：

泰勒級數是基於函數在一個點上的導數的冪級數。具體來說，如果函數 $f:U\mapsto \mathbb {R}$ 在$x_{0}$附近是無限可微的，那麼$f$在該點周圍的泰勒級數為$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$，按照慣例$0^{0}:=1$。$f$的麥克勞林級數是其在$x_{0}=0$處的泰勒數列。洛朗級數是泰勒級數的延伸，允許負指數項；它的形式是 $\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}$並在環內收斂。

廣義狄利克雷級數具有 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$的形式。它的一個重要特例是狄利克雷級數$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$。$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$傅里葉級數將周期函數展開成許多正弦和餘弦函數之和。更具體地，一個周期為$2L$的函數$f(t)$的傅里葉級數為：

$$a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\right)$$

其中係數為：

$$a_{n}:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt$$$$b_{n}:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt.$$在聲學中，基音和泛音共同構成了一個傅里葉數列的例子。

斯特林公式${\text{Ln}}\Gamma \left(z\right)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}$是對數Γ函數的一個近似值。

例子

下式為$e^{x}$的泰勒級數：

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}...$

黎曼ζ函數：

$\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+\cdots$